Меню

Значения синуса косинуса тангенса таблица полная

Значения синуса косинуса тангенса таблица полная

Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/».

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах. Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.

Примеры:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Источник



Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Таблица значений тригонометрических функций
  • Градусы и радианы
  • Формулы приведения
  • Теорема синусов
  • Расширенная теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Читайте также:  Таблица брадиса для синуса с минутами

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Читайте также:  Южная америка климатические пояса и природные зоны таблица

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Источник

Таблицы тригонометрических функций

  • Что такое таблицы тригонометрических функций
    • Как выглядит для значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса
  • Таблицы Брадиса основных тригонометрических функций
    • Как правильно пользоваться
  • Формулы приведения тригонометрических функций, таблица

Что такое таблицы тригонометрических функций

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе.

Для определения неизвестных элементов треугольника (сторон или углов), необходимо использовать известные элементы и правила зависимости между ними. Подобные зависимости называют также тригонометрическими функциями. Таким образом, зная значения некоторого угла или стороны, пользуясь тригонометрическими функциями можно найти неизвестные углы и стороны треугольника. Именно поэтому, без знаний тригонометрии решать геометрические задачи не представляется возможным.

Основные тригонометрические функции:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  1. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему. Также равен частному от деления синуса определенного угла на его косинус.
  4. Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему. Также равен частному от деления косинуса определенного угла на его синус.

Синус и косинус являются прямыми тригонометрическими функциями, тангенс и котангенс — производными. Существуют и другие тригонометрические функции, например — арктангенс. Арктангенс относится к так называемым обратным тригонометрическим функциям, и является функцией, обратной тангенсу. Это означает, что если тангенс некоторого угла у градусов (радиан) равен х, значит арктангенс x равняется y градусов (радиан).

Вычисленные тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) представляют в виде специальных таблиц, которые можно использовать при решении задач — это и есть таблицы тригонометрических функций. В них приведены значения тригонометрических функций углов от 0° до 360°.

Для прямоугольных треугольников в диапазоне углов от 30° до 90° тригонометрические функции равняются следующим значениям:

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3
sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tg 45°= 1, ctg 45° = 1
sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° =√3 , ctg 60° = √3/3

Как выглядит для значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Таблица тригонометрических функций выглядит следующим образом:

Таблица тригонометрических функций

Значение аргумента α задано в верхней строке задано в градусах (от 0° до 90°), во второй строке — в радианах (0, π/6, π/4, π/3, π/2 радиан). Иногда в таблице присутствуют значения только в радианах. Для перевода в градусы необходимо подставить число π = 180°, например, π/6 = 180/6 = 30°.

Обозначение «не определен» в таблице (тангенс 90° и котангенс 0°) означает, что функция является неопределенной.

Алгоритм решения задач с помощью данной таблицы крайне прост. К примеру, нам необходимо найти значение косинуса 30°. Для этого найдем ячейку пересечения строки косинуса и столбца значений для 30°. В данной ячейке находится искомое значение.

Таблицы Брадиса основных тригонометрических функций

Для нахождения более точных значений тригонометрических функций острых углов (с точностью до четырех знаков после запятой) можно использовать таблицы Брадиса. За счет своей точности таблицы могут применяться как для простых задач, так и для сложных математических вычислений.

Таблица Брадиса выглядит следующим образом:

Таблица Брадиса

Как правильно пользоваться

Данные таблицы разделяются на несколько таблиц — отдельно для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. С помощью, так называемых, поправок можно найти значения синусов и косинусов, не вошедшие в таблицу.

Строки таблицы показывают градусы, столбцы — доли градусов, также называемые минутами (1 градус ° равняется 60 минутам´). Таким образом, чтобы найти значение тригонометрической функции для угла X°Y´, необходимо найти пересечение строки X° и столбца Y´. В найденной ячейке будет находиться искомое значение.

Читайте также:  Таблица эксель неправильно считает сумму

В крайних правых столбцах таблицы находятся столбцы с поправками. Данные поправки используются в случае, если искомый угол отсутствует в таблице (разница — 1-3´). Чтобы найти подобный угол, необходимо найти в таблице угол, наиболее близкий к искомому, и к значению тригонометрической функции для него прибавить (для синусов) или отнять (для косинусов) значение поправки.

Так же, как и в случае с простыми таблицами тригонометрических функций, для нахождения значений функций для углов больше 90°, сначала необходимо воспользоваться формулами приведения.

Формулы приведения тригонометрических функций, таблица

Тригонометрические функции обладают свойством периодичности. Это позволяет сделать более полной таблицу со значениями от 0° до 90° с помощью формул приведения и находить значения тригонометрических функций для произвольно выбранных углов. Использование формул приведения сводится к переходу от произвольно выбранного угла к углу меньше 90°, значения которых уже можно легко найти в обычной таблице.

Формул приведения довольно много, и заучивать их, в основном, не требуют. В данных формулах аргументами тригонометрических функций обычно являются углы следующего вида:

  • ±α+2π·z;
  • π/2±α+2π·z;
  • π±α+2π·z;
  • 3π/2±α+2π·z, где z — любое натуральное число, а альфа — произвольный угол поворота.

Список формул приведения выглядит следующим образом:

Список формул приведения

В них можно использовать как градусы, так и радианы.

Для работы с формулами приведения необходимо представить искомый угол в виде одного из перечисленных выше аргументов и подставить в формулу приведения.

Пример

Для примера возьмем угол, равный 16π/3. Его можно представить в виде π+ π/3+2 π·2, а также несколькими другими способами. Косинус данного угла в таком случае будет равен:

cos(16π/3) = cos(π+ π/3+2 π·2) = cos(π/3)

Данное значение мы уже можем найти в обычной таблице тригонометрических функций, значение cos(π/3) = 1/2.

На основе формул приведения можно составить расширенную таблицу тригонометрических функций. В расширенную таблицу входят значения тригонометрических функций для углов 0°, 30°, 60°, . 120°, 135°, 150°, 180°, . 360° (им соответствуют значения 0, π/6, π/3, π/2, …, 2π радиан).

Источник

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/».

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах. Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.

Примеры:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Источник

Adblock
detector