Меню

Закон распределения случайной величины задан таблицей найти функцию

Закон распределения случайной величины задан таблицей найти функцию

п.1. Общие свойства дискретного распределения

Согласно данному определению дискретная величина может быть определена либо на бесконечном счетном множестве, либо на конечном множестве (которое всегда счетное).
Напомним, что счетным называется множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы которого можно пронумеровать (см. §11 справочника для 8 класса).

Например:
1) При подбрасывании игрального кубика мы получаем всего 6 исходов. Случайная величина X – выпавшее число очков – принимает конечное число значений \(\Omega=\left\<1;2;3;4;5;6\right\>\), т.е. является дискретной конечной случайной величиной.
2) Случайная величина X – количество поступивших вызовов на сервер за сутки – не ограничена сверху и может принимать значения \(\Omega=\left\<1;2;3;. \right\>\)

Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.

Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:

t, °C 36,3 36,4 36,5 36,6 36,7 36,8 36,9 37,0 37,1
p(t) 0,05 0,07 0,15 0,33 0,31 0,11 0,04 0,01 0,01

Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.

Например:
Пусть в урне находится 2 белых и 3 черных шара. Мы достаем шар, смотрим на его цвет, возвращаем его обратно и все шары перемешиваем. Таким образом, событие A=«достали белый шар» каждый раз является независимым от предыдущих и имеет вероятность \(p=\frac25\).
Пусть мы провели n=3 испытания. В 3 испытаниях можно получить от 0 до 3 белых шаров. Вероятность событий \(k\in\left\<0;1;2;3\right\>\) описывается биномиальным законом распределения (см. §40 справочника для 9 класса): $$ P_3(k)=C_3^k p^k q^<3-q>,\ \ k=\overline <0;3>$$ Получаем закон распределения: \begin P_3(0)=C_3^0 p^0 q^<3-0>=q^3=\left(\frac35\right)^3=\frac<27><125>\\ P_3(1)=C_3^1 p^1 q^<3-1>=3pq^2=3\cdot \frac25\cdot \left(\frac35\right)^2=\frac<54><125>\\ P_3(2)=C_3^2 p^2 q^<3-2>=3p^2q=3\cdot \left(\frac25\right)^2\cdot \frac35=\frac<36><125>\\ P_3(3)=C_3^3 p^3 q^<3-3>=p^3=\left(\frac25\right)^3=\frac<8> <125>\end

k 1 2 3
\(P_3(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\)

п.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Для дискретной случайной величины функция распределения будет ступенчатой кусочно-непрерывной функцией, область значений которой: \(F(x)\in[0;1]\).
Слева на графике функции распределения будет нулевая «ступенька», а справа – единичная «ступенька».

Например:
Найдем из закона распределения случайной величины k, полученного в предыдущем примере для урны с шарами, функцию распределения.

k 1 2 3
\(P_3(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\)
\(F(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<27+54><125>=\frac<81><125>\) \(\frac<81+36><125>=\frac<117><125>\) \(\frac<117+8><125>=1\)

Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:
Функция распределения дискретной случайной величины
Построим график для функции распределения: \begin F(k)= \begin 0,\ k\leq 0\\ \frac<27><125>,\ 0\lt k\leq 1\\ \frac<81><125>,\ 1\lt k\lt 2\\ \frac<117><125>,\ 2\lt k\leq 3\\ 1,\ k\gt 3 \end \end Функция распределения дискретной случайной величины

п.3. Числовые характеристики дискретного распределения

Числовыми характеристиками дискретного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Подробно о свойствах этих характеристик – см. §41 справочника для 9 класса.

Здесь мы приведем только основные определения.

Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:

\(x_i\) 1 2 3
\(p_i\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\) \(1\)
\(x_i p_i\) \(0\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<72><125>\) \(\frac<24><125>\) \(1,2\)
\(x_i^2\) 1 4 9
\(x_i^2 p_i\) \(0\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<144><125>\) \(\frac<72><125>\) \(2,16\)

Получаем \begin M(X)=\sum_^3 x_i p_i=1,2=\frac65\\ D(X)=\sum_^3 x_i^2 p_i-M^2(X)=2,16-1,2^2=0,72=\frac<18><25>\\ \sigma(X)=\sqrt=\sqrt<\frac<18><25>>=\frac<3\sqrt<2>> <5>\end В научных статьях и технической документации принято записывать случайные величины в виде \(x=M(X)\pm\sigma (X)\).
В данном случае для числа вынутых белых шаров в 3 испытаниях можем записать: $$ k=\frac<6\pm 3\sqrt<2>> <5>$$

п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров

Название Принятое
обозначение
Плотность
распределения
Мат.
ожидание
Дисперсия
Дискретное равномерное \(U(N)\) \begin P(\left\)=\frac1N\\ N\in\mathbb,\ k\in\left\ <1. N\right\>\end

\(\frac<2>\) \(\frac<12>\)
Бернулли \(B(1,p)\) \begin P(0)=1-p=q\\ P(1)=p\\ k\in\left\ <0;1\right\>\end

\(p\) \(pq\)
Биномиальное \(B(n,p)\) \begin P(\left\)=C_n^k p^k q^\\ n\in\mathbb,\ k=\in\left\ <0,1. n\right\>\end

\(np\) \(npq\)
Пуассона \(Pois(\lambda)\) \begin P(\left\)=\frac<\lambda^k>e^<-\lambda>\\ \lambda\gt 0,\ k=\in\left\ <0,1. n\right\>\end

\(\lambda\) \(\lambda\)
Геометрическое \(Geopm(p)\) \begin P(\left\)=pq^\\ k=\in\left\ <0,1,2. \right\>\end

\(\frac1p\) \(\frac\)
Гипер-геометрическое \(HG(D,N,n)\) \begin P(\left\)=\frac^> \end

\(\frac\) $$\frac<\frac\left(1-\frac DN\right)(N-n)>$$

п.5. Примеры

Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения

Предварительно заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии: $$ \sum_^N k_i=1+2+. +N=\frac <2>$$ А сумму квадратов можно найти по формуле Архимеда (доказательство – см. пример 2 в §25 справочника для 9 класса): $$ \sum_^N k_i^2=1^2+2^2+. +N^2=\frac <6>$$ Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=\sum_^N k_ip_i=\sum_^N k_i\cdot \frac1N=\frac1N(1+2+. +N)=\frac1N\cdot\frac<2>=\frac <2>$$ Найдем дисперсию: \begin D(X)=\sum_^N k_i^2 p_i-M^2(X)=\sum_^N k_i^2\cdot\frac1N-M^2(X)=\\ =\frac1N\cdot\frac<6>-\left(\frac<2>\right)^2=\frac<(N+1)(2N+1)><6>-\frac<(N+1)^2><4>=\\ =\frac<2>\left(\frac<2N+1><3>-\frac<2>\right)=\frac<2>\cdot\frac<4N+2-3N-3><6>=\frac<2>\cdot\frac<6>=\frac <12>\end В частности, для игрального кубика: $$ N=6;\ p_i=\frac16;\ M(X)=\frac<6+1><2>=3,5;\ D(X)=\frac<6^2-1><12>=2\frac<11> <12>$$
Ответ: \(M(X)=\frac<2>;\ D(X)=\frac<12>\)

Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.

Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=0\cdot (1-p)+1\cdot p=p $$ Найдем дисперсию: \begin D(X)=(0^2\cdot(1-p)+1^2\cdot p)-M^2(X)=p-p^2=p(1-p)=pq \end
Типичным примером является бросание монеты, где \(M(X)=p=0,5\) и \(D(X)=0,5\cdot 0,5=0,25\). Дисперсия максимальна для нефальшивой монеты.

Рассмотрим другой пример – бросание фальшивой монеты, для которой вероятность выпадения орла (k=1) равна p=0,7. Тогда \(M(k)=p=0,7\), дисперсия \(D(k)=0,7\cdot 0,3=0,21\). Как и ожидалось, для фальшивой монеты средняя величина возрастает (70% бросков заканчивается выпадением орла). При этом дисперсия уменьшается.

Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.

Математическое ожидание и дисперсию для одного опыта Бернулли мы получили в примере 2: \(M(X)=p,\ D(X)=pq\).

Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. \(X=X_1+X_2+. +X_n\). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): \begin M(X)=M(X_1+X_2+. +X_n)=M(X_1)+M(X_2)+. +M(X_n)=\\ =\underbrace_=np \end По свойству дисперсии суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): \begin D(X)=D(X_1+X_2+. +X_n)=D(X_1)+D(X_2)+. +D(X_n)=\\ =\underbrace_=npq \end Например, пусть событие A=«уронить молоток на ногу» имеет вероятность p=0,1.
Тогда для n=100 забиваний гвоздей вы в среднем уроните молоток на ногу
\(M(X)=np=100\cdot 0,1=10\) раз
Дисперсия этого события \(D(X)=npq=100\cdot 0,1\cdot 0,9=9\)
СКО \(\sigma(X)=\sqrt=3\)
По правилу «трех сигм» интервал оценки: \begin 10-3\cdot 3\lt X\lt 10+3\cdot 3\\ -17\lt X\lt 37\\ 0\leq X\leq 36 \end Скорее всего (вероятность 99,72%), вы уроните молоток от 0 до 36 раз.

Ответ: \(M(X)=np,\ D(X)=npq\)

Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

Распределение Пуассона получается из биномиального распределения предельным переходом \(n\rightarrow\infty,\ p\rightarrow 0,\ np\rightarrow\lambda\).
Найдем математическое ожидание как предел мат. ожидания биномиального распределения: $$ M(X)=\lim_M_B(X)=\lim_(np)=\lambda $$ Т.е. параметр \(\lambda\) является средним числом удачных исходов.
Дисперсия, если учесть что \(p\rightarrow 0\), а значит \(q=1-p\rightarrow 1\) $$ D(X)=\underset<\lim_> D_B(X)=\underset<\lim_>(npq)=\lambda\cdot 1=\lambda $$
Например, в городе размерами 10х10 км болеет гриппом 1000 человек.
С какой вероятностью в комнате размерами 10х10 м:
а) не окажется больных;
б) окажется 1 больной?
Площадь города в метрах \(S=(10^4)^2=10^8\) м 2
Площадь комнаты в метрах \(s_0=10^2\) м 2
Среднее количество больных в комнате: \(\lambda=N\frac=10^3\cdot\frac<10^2><10^3>=10^<-3>=0,001\)
а) вероятность того, что в комнате не окажется больных: $$ p_0=\frac<0,001^0><0!>e^<-0,001>=e^<-0,001>\approx 1-0,001=0,999 $$ Здесь мы использовали формулу приближенных вычислений \(e^x\approx 1+x,\ x\rightarrow 0\) (см. §52 данного справочника).
б) вероятность того, что в комнате окажется один больной: $$ p_1=\frac<0,001^1><1!>e^<-0,001>=0,000999\approx 0,001 $$ Вероятность всех остальных случаев пренебрежимо мала.
Таким образом, при малых \(\lambda\) вероятности \(p_0\approx 1-\lambda,\ p_1\approx\lambda\), т.е. фактически мы получаем распределение Бернулли.
Ответ: \(M(X)=\lambda ,\ D(X)=\lambda\)

Источник



2.2.7. Функция распределения случайной величины

И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

, где – вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до «плюс» бесконечности.

Построим функцию распределения для нашей подопытной игры:

Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: . Совершенно понятно, что и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения:
– вы согласны? Функция возвращает вероятность того, что в точке выигрыш будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

Таким образом: , если .
На интервале функция , поскольку левее любой точки этого интервала есть только одно значение случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того, сюда же следует отнести точку , так как:
– очень хорошо осознайте этот момент!

Таким образом, если , то

Далее рассматриваем промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:

И, наконец, если , то , ибо все значения случайной величины лежат СТРОГО левее любой точки интервала

Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция характеризует вероятность, то она может принимать значения лишь из промежутка – и никакие другие!

Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать фигурные скобки:

График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:

Причём, функция или её график однозначно определяют сам закон распределения: в точке высота «ступеньки» (разрыв) составляет (следим по графику), в точке «скачок» разрыва равен и, наконец, в точке он равен в точности .
Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время, и НСВ – тоже.

Освоим технические моменты решения типовой задачи:

Задача 93
Построить функцию распределения случайной величины

Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:

…, пожалуй, достаточно.

Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения функции распределения:

Сначала берём первое значение и составляем нестрогое неравенство . На этом промежутке .

На промежутке (между и ):

На промежутке (между и ):

На промежутке (между и ):

И, наконец, если строго больше самого последнего значения , то:

Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию иногда называют интегральной функцией распределения. В практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку:

Выполним чертёж:

и проконтролируем правильность решения с помощью «скачков» графика: в точке «скачок» равен , в точке составляет , в точке равен , и, наконец, в точке – .

При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб:
горизонтальная ось: 1 ед. = 2 или 1 тетрадная клетка;
вертикальная ось: 0,1 = 1 тетрадная клетка.

На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. Левый нижний луч следует прочертить жирно (чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. То было ручное построение. Ну а о том, как строить такие красивые графики в Экселе можно узнать в этом ролике на Ютубе, к слову, полигон (многоугольник) распределения строится ещё проще.

Переходим ко второй части задания, её коротко можно сформулировать так:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Математическое ожидание случайной величины. Пример решения

Задание 1. Дан закон распределения случайной величины X .

xi 1 2 3
pi 0.2 0.3 0.4 0.1

Вычислите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию, эксцесс случайной величины.

Решение получаем через калькулятор. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.2 + 1*0.3 + 2*0.4 + 3*0.1 = 1.4
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 ipi — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.2 + 1 2 *0.3 + 2 2 *0.4 + 3 2 *0.1 — 1.4 2 = 0.84
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
sigma(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(0.84) = 0.92

Задание 2. Дан закон распределения случайной величины X в виде таблицы: в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины, во второй — соответствующие вероятности. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Скачать решение

Задание 3. Задана дискретная случайная величина Х. Найти: а) математическое ожидание М(х); б) дисперсию D(x); в) среднее квадратическое отклонение б(х).
Скачать решение:xls

Пример 1. Случайная величина X задана рядом распределения:

xi 1 2 3 4
pi 0.5 0.3 0.15 0.03 0.02

Вычислить математическое ожидание случайной величины mX, дисперсию D[x], среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения F(x). Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение больше 0, но меньше 3.
Скачать решение:xls
Рекомендации. Для проверки решения можно воспользоваться этим сервисом.

Пример 2. Задан закон распределения дискретной случайной величины X . Найти неизвестную вероятность p , математическое ожидание M , Дисперсию D и среднее квадратическое отклонение. Функцию распределения F(X) и построить ее график.
Рекомендации. Чтобы найти неизвестную вероятность p , достаточно из 1 вычесть все вероятности: p = 1 — ∑pi
Скачать решение:xls

Задание. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. см. также другие примеры.

Источник

Дискретные распределения вероятностей и их параметры

п.1. Общие свойства дискретного распределения

Согласно данному определению дискретная величина может быть определена либо на бесконечном счетном множестве, либо на конечном множестве (которое всегда счетное).
Напомним, что счетным называется множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы которого можно пронумеровать (см. §11 справочника для 8 класса).

Например:
1) При подбрасывании игрального кубика мы получаем всего 6 исходов. Случайная величина X – выпавшее число очков – принимает конечное число значений \(\Omega=\left\<1;2;3;4;5;6\right\>\), т.е. является дискретной конечной случайной величиной.
2) Случайная величина X – количество поступивших вызовов на сервер за сутки – не ограничена сверху и может принимать значения \(\Omega=\left\<1;2;3;. \right\>\)

Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.

Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:

t, °C 36,3 36,4 36,5 36,6 36,7 36,8 36,9 37,0 37,1
p(t) 0,05 0,07 0,15 0,33 0,31 0,11 0,04 0,01 0,01

Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.

Например:
Пусть в урне находится 2 белых и 3 черных шара. Мы достаем шар, смотрим на его цвет, возвращаем его обратно и все шары перемешиваем. Таким образом, событие A=«достали белый шар» каждый раз является независимым от предыдущих и имеет вероятность \(p=\frac25\).
Пусть мы провели n=3 испытания. В 3 испытаниях можно получить от 0 до 3 белых шаров. Вероятность событий \(k\in\left\<0;1;2;3\right\>\) описывается биномиальным законом распределения (см. §40 справочника для 9 класса): $$ P_3(k)=C_3^k p^k q^<3-q>,\ \ k=\overline <0;3>$$ Получаем закон распределения: \begin P_3(0)=C_3^0 p^0 q^<3-0>=q^3=\left(\frac35\right)^3=\frac<27><125>\\ P_3(1)=C_3^1 p^1 q^<3-1>=3pq^2=3\cdot \frac25\cdot \left(\frac35\right)^2=\frac<54><125>\\ P_3(2)=C_3^2 p^2 q^<3-2>=3p^2q=3\cdot \left(\frac25\right)^2\cdot \frac35=\frac<36><125>\\ P_3(3)=C_3^3 p^3 q^<3-3>=p^3=\left(\frac25\right)^3=\frac<8> <125>\end

k 1 2 3
\(P_3(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\)

п.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Для дискретной случайной величины функция распределения будет ступенчатой кусочно-непрерывной функцией, область значений которой: \(F(x)\in[0;1]\).
Слева на графике функции распределения будет нулевая «ступенька», а справа – единичная «ступенька».

Например:
Найдем из закона распределения случайной величины k, полученного в предыдущем примере для урны с шарами, функцию распределения.

k 1 2 3
\(P_3(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\)
\(F(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<27+54><125>=\frac<81><125>\) \(\frac<81+36><125>=\frac<117><125>\) \(\frac<117+8><125>=1\)

Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:
Функция распределения дискретной случайной величины
Построим график для функции распределения: \begin F(k)= \begin 0,\ k\leq 0\\ \frac<27><125>,\ 0\lt k\leq 1\\ \frac<81><125>,\ 1\lt k\lt 2\\ \frac<117><125>,\ 2\lt k\leq 3\\ 1,\ k\gt 3 \end \end Функция распределения дискретной случайной величины

п.3. Числовые характеристики дискретного распределения

Числовыми характеристиками дискретного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Подробно о свойствах этих характеристик – см. §41 справочника для 9 класса.

Здесь мы приведем только основные определения.

Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:

\(x_i\) 1 2 3
\(p_i\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\) \(1\)
\(x_i p_i\) \(0\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<72><125>\) \(\frac<24><125>\) \(1,2\)
\(x_i^2\) 1 4 9
\(x_i^2 p_i\) \(0\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<144><125>\) \(\frac<72><125>\) \(2,16\)

Получаем \begin M(X)=\sum_^3 x_i p_i=1,2=\frac65\\ D(X)=\sum_^3 x_i^2 p_i-M^2(X)=2,16-1,2^2=0,72=\frac<18><25>\\ \sigma(X)=\sqrt=\sqrt<\frac<18><25>>=\frac<3\sqrt<2>> <5>\end В научных статьях и технической документации принято записывать случайные величины в виде \(x=M(X)\pm\sigma (X)\).
В данном случае для числа вынутых белых шаров в 3 испытаниях можем записать: $$ k=\frac<6\pm 3\sqrt<2>> <5>$$

п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров

Название Принятое
обозначение
Плотность
распределения
Мат.
ожидание
Дисперсия
Дискретное равномерное \(U(N)\) \begin P(\left\)=\frac1N\\ N\in\mathbb,\ k\in\left\ <1. N\right\>\end

\(\frac<2>\) \(\frac<12>\)
Бернулли \(B(1,p)\) \begin P(0)=1-p=q\\ P(1)=p\\ k\in\left\ <0;1\right\>\end

\(p\) \(pq\)
Биномиальное \(B(n,p)\) \begin P(\left\)=C_n^k p^k q^\\ n\in\mathbb,\ k=\in\left\ <0,1. n\right\>\end

\(np\) \(npq\)
Пуассона \(Pois(\lambda)\) \begin P(\left\)=\frac<\lambda^k>e^<-\lambda>\\ \lambda\gt 0,\ k=\in\left\ <0,1. n\right\>\end

\(\lambda\) \(\lambda\)
Геометрическое \(Geopm(p)\) \begin P(\left\)=pq^\\ k=\in\left\ <0,1,2. \right\>\end

\(\frac1p\) \(\frac\)
Гипер-геометрическое \(HG(D,N,n)\) \begin P(\left\)=\frac^> \end

\(\frac\) $$\frac<\frac\left(1-\frac DN\right)(N-n)>$$

п.5. Примеры

Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения

Предварительно заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии: $$ \sum_^N k_i=1+2+. +N=\frac <2>$$ А сумму квадратов можно найти по формуле Архимеда (доказательство – см. пример 2 в §25 справочника для 9 класса): $$ \sum_^N k_i^2=1^2+2^2+. +N^2=\frac <6>$$ Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=\sum_^N k_ip_i=\sum_^N k_i\cdot \frac1N=\frac1N(1+2+. +N)=\frac1N\cdot\frac<2>=\frac <2>$$ Найдем дисперсию: \begin D(X)=\sum_^N k_i^2 p_i-M^2(X)=\sum_^N k_i^2\cdot\frac1N-M^2(X)=\\ =\frac1N\cdot\frac<6>-\left(\frac<2>\right)^2=\frac<(N+1)(2N+1)><6>-\frac<(N+1)^2><4>=\\ =\frac<2>\left(\frac<2N+1><3>-\frac<2>\right)=\frac<2>\cdot\frac<4N+2-3N-3><6>=\frac<2>\cdot\frac<6>=\frac <12>\end В частности, для игрального кубика: $$ N=6;\ p_i=\frac16;\ M(X)=\frac<6+1><2>=3,5;\ D(X)=\frac<6^2-1><12>=2\frac<11> <12>$$
Ответ: \(M(X)=\frac<2>;\ D(X)=\frac<12>\)

Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.

Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=0\cdot (1-p)+1\cdot p=p $$ Найдем дисперсию: \begin D(X)=(0^2\cdot(1-p)+1^2\cdot p)-M^2(X)=p-p^2=p(1-p)=pq \end
Типичным примером является бросание монеты, где \(M(X)=p=0,5\) и \(D(X)=0,5\cdot 0,5=0,25\). Дисперсия максимальна для нефальшивой монеты.

Рассмотрим другой пример – бросание фальшивой монеты, для которой вероятность выпадения орла (k=1) равна p=0,7. Тогда \(M(k)=p=0,7\), дисперсия \(D(k)=0,7\cdot 0,3=0,21\). Как и ожидалось, для фальшивой монеты средняя величина возрастает (70% бросков заканчивается выпадением орла). При этом дисперсия уменьшается.

Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.

Математическое ожидание и дисперсию для одного опыта Бернулли мы получили в примере 2: \(M(X)=p,\ D(X)=pq\).

Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. \(X=X_1+X_2+. +X_n\). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): \begin M(X)=M(X_1+X_2+. +X_n)=M(X_1)+M(X_2)+. +M(X_n)=\\ =\underbrace_=np \end По свойству дисперсии суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): \begin D(X)=D(X_1+X_2+. +X_n)=D(X_1)+D(X_2)+. +D(X_n)=\\ =\underbrace_=npq \end Например, пусть событие A=«уронить молоток на ногу» имеет вероятность p=0,1.
Тогда для n=100 забиваний гвоздей вы в среднем уроните молоток на ногу
\(M(X)=np=100\cdot 0,1=10\) раз
Дисперсия этого события \(D(X)=npq=100\cdot 0,1\cdot 0,9=9\)
СКО \(\sigma(X)=\sqrt=3\)
По правилу «трех сигм» интервал оценки: \begin 10-3\cdot 3\lt X\lt 10+3\cdot 3\\ -17\lt X\lt 37\\ 0\leq X\leq 36 \end Скорее всего (вероятность 99,72%), вы уроните молоток от 0 до 36 раз.

Ответ: \(M(X)=np,\ D(X)=npq\)

Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

Распределение Пуассона получается из биномиального распределения предельным переходом \(n\rightarrow\infty,\ p\rightarrow 0,\ np\rightarrow\lambda\).
Найдем математическое ожидание как предел мат. ожидания биномиального распределения: $$ M(X)=\lim_M_B(X)=\lim_(np)=\lambda $$ Т.е. параметр \(\lambda\) является средним числом удачных исходов.
Дисперсия, если учесть что \(p\rightarrow 0\), а значит \(q=1-p\rightarrow 1\) $$ D(X)=\underset<\lim_> D_B(X)=\underset<\lim_>(npq)=\lambda\cdot 1=\lambda $$
Например, в городе размерами 10х10 км болеет гриппом 1000 человек.
С какой вероятностью в комнате размерами 10х10 м:
а) не окажется больных;
б) окажется 1 больной?
Площадь города в метрах \(S=(10^4)^2=10^8\) м 2
Площадь комнаты в метрах \(s_0=10^2\) м 2
Среднее количество больных в комнате: \(\lambda=N\frac=10^3\cdot\frac<10^2><10^3>=10^<-3>=0,001\)
а) вероятность того, что в комнате не окажется больных: $$ p_0=\frac<0,001^0><0!>e^<-0,001>=e^<-0,001>\approx 1-0,001=0,999 $$ Здесь мы использовали формулу приближенных вычислений \(e^x\approx 1+x,\ x\rightarrow 0\) (см. §52 данного справочника).
б) вероятность того, что в комнате окажется один больной: $$ p_1=\frac<0,001^1><1!>e^<-0,001>=0,000999\approx 0,001 $$ Вероятность всех остальных случаев пренебрежимо мала.
Таким образом, при малых \(\lambda\) вероятности \(p_0\approx 1-\lambda,\ p_1\approx\lambda\), т.е. фактически мы получаем распределение Бернулли.
Ответ: \(M(X)=\lambda ,\ D(X)=\lambda\)

Источник

Читайте также:  Заполните таблицу история россии 6 класс рабочая тетрадь
Adblock
detector