Меню

Вычисление восьмеричной системе счисления таблицы

Вычисление восьмеричной системе счисления таблицы

Общие сведения

Во время изобретения персонального компьютера (ПК) или ЭВМ использовался определенный язык представления данных, который существенно отличался от десятичной системы счисления. Последняя используется человеком при ведении расчетов и является самой удобной.

Кодирование данных в современных ЭВМ осуществляется за счет элементов (транзисторов) в интегральных микросхемах. За основу взят полупроводниковый переход, который может быть закрытым или открытым. Следует отметить, что режим «насыщения», присущий радиодетали, не используется. Если он открыт, то в триггер (память) записывается единица, а в противном случае — нуль. В результате этого кодирование осуществляется в двоичном коде (0 или 1), основанием которого является цифра «2».

Для кодирования больших массивов информации использовать двоичную систему счисления не всегда удобно, поскольку количество транзисторов может быть огромным, а устройство будет значительно греться. Чтобы этого избежать, была придумана восьмеричная система счисления.

Для выполнения операции конвертации десятичной системы исчисления в восьмеричный код необходимы некоторые базовые знания. К ним относятся:

  1. Отличительная особенность числа от цифры.
  2. Виды систем представления информации.
  3. Понятие о двоичном коде.
  4. Алгоритм или методика перевода в восьмеричную систему представления.
  5. Примеры решения задач.

Специалисты в области информационных технологий рекомендуют разбирать базовые понятия в последовательности, состоящей из пяти шагов.

Число и цифра

При расчетах и выражении количественных характеристик процесса или явления применяются определенные математические символы — числа. Они состоят из разрядной сетки. Каждый ее элемент — цифра, которая принимает значения, в зависимости от выбранной системы счисления (СС). Например, для десятичной используется диапазон от 0 до 9, а девятеричная состоит из интервала с минимальной величиной, равной 0, а максимальной — 8.

Цифра — математический знак, используемый для построения более сложных конструкций. Например, с его помощью можно записать значения различных типов (четырехзначные, пятизначные). Любое число состоит из разрядной сетки, элементами которой и являются математические символы.

При выполнении различных математических операций нужно следить за одинаковыми разрядами. Например, недопустимо складывать сотни и тысячи, поскольку это действие приведет к ошибочным вычислениям. Далее следует разобрать системы представления информации и их примеры.

Виды числовых представлений

Для правильного перевода чисел из одной СС в другую необходимо разобрать классификацию форм представления информации. Они бывают двух типов, в зависимости от расположения цифр:

  1. Зависимые (позиционные).
  2. Независимые (непозиционные).

В первом случае значение числа зависит от расположения или комбинации цифр. Этот факт очень просто доказывается на примере обычной десятичной формы представления величины. Например, 25 и 52 — два разных значения. Если бы расположение разрядов не учитывалось, при разности этих двух величин получился нуль. Позиционными СС являются двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды. В них также есть разрядная сетка.

Независимыми от расположения разрядов называются непозиционные СС. Примером одной из них является унарная форма записи числа. Суть ее заключается в эквивалентности символа какому-либо значению. Например, на предприятиях применяются обыкновенные «крестики» для подсчета количества рабочих дней сотрудников. Каждый символ эквивалентен единице.

На уроках математики в начальных классах также применяется инструмент — счетные палочки. Последние помогают ученикам развивать навык устного счета и являются компонентами непозиционной СС. С их помощью возможно выполнять операции суммы, разности, а также произведения и деления.

Следует отметить, что не во всех случаях один символ может соответствовать единице. Это могут быть десятки, сотни и даже тысячи. Для расчетов при помощи непозиционной СС можно придумать собственные обозначения, как это сделано в римских цифрах. Однако при этом существуют определенные недостатки:

  1. Сложность работы с большими числами.
  2. Затрудненный перевод в десятичную и обратно.
  3. Невозможно работать с дробными величинами (сложение, вычитание, умножение и деление).
  4. Операции возведения в степень и изъятия корня невозможны.

Достоинством считается сокращение времени записи величины, которая постоянно изменяется. Например, при подсчете количества выходов персонала достаточно поставить крестик или палочку, и это делается без исправлений. В случае с десятичной СС исправлений избежать невозможно.

Чтобы выполнить перевод в восьмеричную систему счисления, необходимо ознакомиться с методикой конвертации десятичной формы в двоичное кодовое представление.

Двоичная кодировка

Для преобразования десятичной величины в двоичную IT-специалистами были разработаны специальные правила или алгоритмы. К ним относятся столбик и степень. Каждому начинающему IT-специалисту необходимо выбрать оптимальную методику преобразования одной формы числа в другую. Каждый из способов удобен в конкретной ситуации. Можно также применять сразу 2 — один для решения, а другой — для проверки результата. Необходимо разобрать каждую методику подробно с практической реализацией алгоритма.

Метод «столбик»

Первый способ получил широкое применение, поскольку для его выполнения требуется минимум знаний в математической сфере. Он имеет следующий вид:

  1. Анализ числа на четность и нечетность.
  2. Запись нуля в первом случае и единицы — во втором.
  3. Выделение результата (снизу вверх).
Читайте также:  Таблица для книг для учеников

Реализация алгоритма проверяется на практическом примере. Для этого требуется решить задачу конвертации числа из десятичной СС в другую, перевод 167 <10>в <2>. Решение имеет следующий вид:

  1. 167/2 ->1.
  2. 83/2 ->1.
  3. 41/2 ->1.
  4. 20/2 ->0.
  5. 10/2 ->0.
  6. 5/2 ->1.
  7. 2/2 ->0.
  8. -> 1 (остаток).
  9. 10100111<2>.

Обратный алгоритм конвертации из двоичной в десятичную форму представления величины основан на соответствии значений степенным показателям двойки. Разбиение на разрядную сетку осуществляется справа налево. Методика имеет такой вид:

  1. Искомое двоичное представление.
  2. Запись справа налево. Если есть единица, существует двойка в заданной степени. В противном случае — необходимо указывать 0.
  3. Просуммировать все степени.
  4. Записать окончательный результат.

Реализация методики проверяется на практическом примере — следует взять двоичный код из предыдущего задания, т. е. 10100111. Алгоритм нахождения десятичной формы имеет следующий вид:

  1. 10100111<2>.
  2. 1*[2^7] 0*[2^6] 1*[2^5] 0*[0^4] 0*[0^3] 1*[2^2] 1*[2^1] 1*[2^0].
  3. Если сложить все коэффициенты, получится значение, которое равно 167.
  4. 167<10>.

Переводить системы счисления в другие формы представления возможно при помощи различных онлайн-сервисов. Для этого требуется указать исходную форму числа, а затем конечную. Однако действия рекомендуется совершать только для проверки результата решения задачи.

Способ степени

Для конвертации в двоичный код также применяется метод степени. Суть его заключается в представлении числа в виде отдельных элементов с основанием «2» и некоторым показателем. Алгоритм в этом случае выглядит таким образом:

  1. Найти наибольшую степень, записав в высший разряд «1».
  2. Отнять от искомого числа величину, полученную на первом шаге.
  3. Повторить действия первого и второго пунктов.

Как и во всех остальных случаях, рекомендуется разобрать алгоритм на практическом примере. Решение задачи для числа «167» имеет такой вид:

  1. Максимальная степень: 2^7 2^7=128 (1).
  2. 167-128=39.
  3. 2^6 ->0 (нет).
  4. МАХ: 2^5 2^5=32 ->1.
  5. 39-32=7.
  6. 2^4 ->0 (нет).
  7. 2^3 ->0 (нет).
  8. MАХ: 2^2 2^2=4 ->1.
  9. 7-4=3.
  10. MAX: 2^1 2^1=2 ->1.
  11. 3-2=1.
  12. 2^0=1 ->1.
  13. Результат: 10100111.

Однако операция преобразования является вспомогательной. Она применяется для дальнейшей конвертации в восьмеричную СС.

Восьмеричная система

Восьмеричная форма представления чисел состоит из основания-восьмерки и триады. Совокупность последних образуют любые значения. Для кодирования информации в этом случае применяется меньше регистров памяти. Этого нельзя сказать о двоичном коде.

Для восьмеричного представления применяются цифры от 0 до 7 (всего 8). Многие новички часто путают ее с шестнадцатеричной СС, в которой содержатся символы латинского алфавита. При выполнении операций конвертации специалисты рекомендуют ознакомиться со списком (таблицей) восьмеричной системы:

  1. 0 -> 000.
  2. 1 -> 001.
  3. 2 -> 010.
  4. 3 -> 011.
  5. 4 -> 100.
  6. 5 -> 101.
  7. 6 -> 110.
  8. 7 -> 111.

Он поможет перевести любое числовое сообщение. Для удобства IT-специалисты рекомендуют составить презентацию или записать на лист плотной бумаги перекодировку списка. Заучивать коды нет необходимости, поскольку достаточно решать примеры (информация отложится в памяти). Алгоритм кодирования очень прост:

  1. Написать величину в десятичной форме.
  2. Перевести ее в двоичный код одним из методов.
  3. Разделить двоичную форму на триады (сгруппировать по 3 элемента, начиная справа). Если разрядов не хватает, нужно дописать нули слева (это не влияет на значение).
  4. Декодировать каждую группу, воспользовавшись списком.
  5. Записать окончательный результат, указав, что величина записана в восьмеричной форме.

После ознакомления с методикой преобразования нужно проверить ее реализацию на примере. Требуется выяснить, значение 167 <10>. Это делается довольно просто:

  1. 167<10>.
  2. Из вышеописанных примеров: 1111011<2>.
  3. <001><111><011>.
  4. <1><7>
  5. 173<8>.

Обратное декодирование выполняется по такой методике:

  1. Записывается форма: 173<8>.
  2. Разделяется на группы: <1><7><3>.
  3. Декодируется каждый компонент: <001><111><011>.
  4. Окончательный результат без учета группировочных символов и лишних разрядов: 1111011<2>.
  5. Переводится в десятичную СС: 167<10>.

На начальных этапах обучения рекомендуется четко следовать по пунктам методики. Однако через некоторое время последние можно опускать.

Таким образом, восьмеричная система применяется для кодирования больших массивов информации, при котором может быть задействовано минимальное количество регистров запоминающего устройства персонального компьютера.

Источник



Восьмеричный калькулятор онлайн

Калькулятор может производить следующие действия:

  • сложение +
  • вычитание
  • умножение ×
  • деление ÷
  • логическое И (AND)
  • логическое ИЛИ (OR)
  • исключающее ИЛИ (XOR)

Сложение в восьмеричной системе счисления

Сложение двух восьмеричных чисел производится столбиком, как и в десятичной системе, но по следующим правилам:

+ 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10 11 12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16

Пример

Для примера сложим 777 и 15:

+ 7 7 7
1 5
1 1 4

Вычитание в восьмеричной системе счисления

Вычитание восьмеричных чисел производится столбиком. Правила вычитания обратны правилам сложения (см. таблицу выше).

Пример

Для примера вычтем из числа 1014 число 777:

1 1 4
7 7 7
1 5

Умножение чисел в восьмеричной системе счисления

Умножение восьмеричных чисел производится в столбик по следующим правилам:

× 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7
2 2 4 6 10 12 14 16
3 3 6 11 14 17 22 25
4 4 10 14 20 24 30 34
5 5 12 17 24 31 36 43
6 6 14 22 30 36 44 52
7 7 16 25 34 43 52 61

Пример

Для примера перемножим числа 777 и 15:

× 7 7 7
1 5
+ 4 7 7 3
7 7 7
1 4 7 6 3

Деление чисел в восьмеричной системе счисления

Деление восьмеричных чисел выполняется по тому же принципу, что и деление десятичных, например:

Источник

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Является одной из самых популярных в информатике, наряду с двоичной, десятичной и шестнадцатеричной.

Немного истории

Возникновение восьмеричной системы счисления связывают с техникой счета на пальцах. Однако, если классический счет на пальцах, подразумевает задействование всех десяти, то эта техника использует не пальцы, а промежутки между ними, которых — 8.

Основание и алфавит

Восьмеричная система является традиционной системой счисления с основанием 8. Алфавит состоит их цифр от 0 до 7 .

Развернутая форма записи числа будет выглядеть следующим образом:

3678=3 ∙ 8 2 + 6 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 = 3 ∙ 64 + 6 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 192 + 48 + 7 = 24710

Применение восьмеричной системы счисления

Многие знают, что компьютеры используют двоичную систему счисления. Однако простому человеку использовать её не удобно, из-за больших вычислений и переводов. В этом случае, гораздо удобнее воспользоваться более емкими системами, такими как восьмеричная или шестнадцатеричная. Восьмеричная очень схожа с десятичной, за исключение двух цифр в алфавите (8,9). Благодаря этому – легка в восприятии. С её помощью можно легко переводить числа с одной системы счисления в другую и совершать арифметические действия.

Практическое применение восьмеричная система находила в программировании , однако с развитием компьютерных технологий, практически полностью уступила — шестнадцатеричной . На сегодняшний день, частичное использование можно встретить в Linux-системах.

Источник

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Система счисления — это способ представления числа. Одно и то же число может быть представлено в различных видах. Например, число 200 в привычной нам десятичной системе может иметь вид 11001000 в двоичной системе, 310 в восьмеричной и C8 в шестнадцатеричной.

Существуют и другие системы счисления, но мы не стали включать их в конвертер из-за низкой популярности.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:
20010 = 110010002 = 3108 = C816

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.

Перевод в десятичную систему счисления

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную можно следующим образом: каждый разряд числа необходимо умножить на X n , где X — основание исходного числа, n — номер разряда. Затем суммировать полученные значения.

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

Переведем число 37510 в восьмеричную систему:

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Для перевода в восьмеричную систему нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры справа налево. В последней (самой левой) группе вместо недостающих цифр поставить слева нули. Для каждой полученной группы произвести умножение каждого разряда на 2 n , где n — номер разряда.

Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Триада 000 001 010 011 100 101 110 111
Цифра 1 2 3 4 5 6 7

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2 n , где n — номер разряда, и сложим результаты.

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Перевод из восьмеричной системы в двоичную

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Используем таблицу триад:

Цифра 1 2 3 4 5 6 7
Триада 000 001 010 011 100 101 110 111

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную

Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.

Используем таблицу тетрад:

Цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Тетрада 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Источник

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления имеет вспомогательный характер, ее удобно использовать для сокращенной записи бинарных комбинаций чисел. Она более удобна в работе чем двоичная, так как использует меньшее количество разрядов. Восьмеричная система применялась в свое время для программирования на машинном языке, а также в устройствах подготовки данных, вышедших из употребления с появлением персональных компьютеров.

Алфавит восьмеричной системы составляют восемь цифр от 0 до 7, соответственно основание равно 8. Числовой ряд восьмеричных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20.

Следует обратить внимание, что после 7 в числовом ряду идет 10, а после 17 число 20.

Число 8 имеет символический смысл, является первым кубом двойки и отождествляется с трехмерным измерением. Для многих древних народов восьмёрка сакральное число. Внешне выглядит как символ бесконечности. В информатике один байт равен 8 битам.

Символ бесконечности

Рис. 1. Символ бесконечности.

Перевод 8 – 2

Перенос восьмеричного числа в двоичный формат – это самый простой способ перевода чисел. Каждой восьмеричной цифре ставится в соответствие группа двоичных цифр в количестве трех. Эта группа называется триадой.

И, наоборот, при переводе двоичного числа в восьмеричный формат производится замена трех двоичных цифр одной восьмеричной. Разбивка целого двоичного числа на трехзначные звенья производится справа налево. Когда крайняя триада получается неполной, то ее дополняют нулями.

Для более быстрого перевода чисел используется таблица записи восьмеричных чисел двоичным форматом.

Рис. 2. Таблица соответствия восьмеричных и двоичных чисел.

Например, 348 = 0111002. Ноль впереди числа отбрасываем и получаем в итоге 111002.

И обратный перевод, например: 11011012 = (001)(101)(101) = 1558. В старшей триаде не хватило разрядов, она дополнилась слева двумя нулями.

Перевод 8 – 10

Преобразование чисел из восьмеричного формата в десятичную форму выполняется с использованием правила перевода: целая часть числа последовательно делится на основание новой системы счисления, то есть 8, и остатки от деления записываются начиная с последнего частного в обратном направлении. Например:

246 / 8 = 30 и в остатке 6

30 / 8 = 3 и в остатке 6

3 меньше 8, деление завершено.

Обратный перевод выполняется путем разложения числа в развернутую форму:

3668 = 3*8 2 + 6*8 1 + 6*8 0 = 3*64 + 6*8 + 6*1 = 192 + 48 + 6 = 24610

Арифметические действия

Арифметические действия в системе счисления с основанием 8 выполняются также как и в десятичной. Удобнее всего складывать и вычитать большие числа столбиком. Только следует помнить, что после 7 идет 10, то есть сумма восьмеричных чисел 3 + 5 = 10, а не восемь. Удобнее всего при вычислениях пользоваться таблицей сложения восьмеричных чисел.

Рис. 3. Таблица сложения восьмеричных чисел.

Например, сумма 34 + 25 = 61. Это получилось следующим образом. Сначала складываются младшие разряды 4 + 5 = 11 (смотрят по таблице). Единица остается в младшем разряде, а вторая единица переносится в старший разряд и добавляется к сумме чисел 3 + 2 = 5. Итого получилось 61.

Что мы узнали?

Восьмеричная система счисления удобна для представления бинарных кодов и записи машинных команд в программировании. Основание этой системы равно 8. Для перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и обратно используются триады. Перевод восьмеричных чисел в десятичную систему выполняется путем поочередного деления частного числа и записи остатков от деления. Обратный перевод выполняется через раскрытие числа в развернутую форму.

Источник

Adblock
detector