Меню

Все свойства логарифмов формулы таблица шпаргалка

Все свойства логарифмов формулы таблица шпаргалка

Определение логарифма

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a &#x2260 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a ( b c ) = log a b + log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (5)

log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log 10 x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg ( x y ) = lg x + lg y ( x > 0, y > 0 ) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b = lg b lg a = ln b ln a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0 )

Источник



Формулы и свойства логарифмов

Логарифм числа b по основанию a ( loga b ) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a (основание логарифма), чтобы получить число b (Логарифм существует только у положительных чисел).

loga b = x означает, что a x = b

Калькулятор логарифмов

График логарифмов

Виды логарифмов

loga b — логарифм числа b по основанию a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0)

lg b — десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).

ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e ).

Формулы и свойства логарифмов

a log ab = b — основное логарифмическое тождество

log a 1 = 0 — логарифма единицы

log a a = 1 — логарифм числа, равного основанию

log a ( x · y ) = log ax + log ay — логарифм произведения двух положительных чисел

log a n x = 1 n log a x , при n ≠ 0

log a x = log b x log b a — формула перехода к новому основанию

(log a x )′ = 1 x ln a — производная логарифма

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Chto takoe logarifm

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

Chto takoe logarifm3где a – это основание логарифма,

Читайте также:  Пепе джинс размеры таблица

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.Chto takoe logarifm4и преобразовываем вChto takoe logarifm5Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Chto takoe logarifm6

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:Chto takoe logarifm7А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Chto takoe logarifm8Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Chto takoe logarifm9

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Chto takoe logarifm10Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100Chto takoe logarifm11

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Chto takoe logarifm12

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

Chto takoe logarifm12

И вычислить его можно таким образом:Chto takoe logarifm13

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Chto takoe logarifm2

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Chto takoe logarifm14

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

Chto takoe logarifm16

Chto takoe logarifm17

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияChto takoe logarifm18Сначала преобразуем логарифм

Chto takoe logarifm19Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Chto takoe logarifm20Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:Chto takoe logarifm21

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Chto takoe logarifm22Chto takoe logarifm23Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Chto takoe logarifm24Chto takoe logarifm25Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Chto takoe logarifm26Chto takoe logarifm27Chto takoe logarifm28Chto takoe logarifm29

Переход к новому основанию

Chto takoe logarifm30

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияChto takoe logarifm31Для начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Chto takoe logarifm32

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Chto takoe logarifm33Подставим полученные результаты в исходное выражение:Chto takoe logarifm34

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выраженияChto takoe logarifm352. Найти значение выраженияChto takoe logarifm363. Найти значение выраженияChto takoe logarifm374. Найти значение выраженияChto takoe logarifm385. Найти значение выраженияChto takoe logarifm396. Найти значение выраженияChto takoe logarifm40Сначала найдем значениеChto takoe logarifm41Для этого приравняем его к Х:Chto takoe logarifm42Тогда изначальное выражение принимает вид:

Chto takoe logarifm437. Найти значение выраженияChto takoe logarifm44Преобразуем наше выражение:Chto takoe logarifm45Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: Chto takoe logarifm468. Найти значение выраженияChto takoe logarifm47Так как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:Chto takoe logarifm489. Найти значение выраженияChto takoe logarifm49Так как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Chto takoe logarifm50Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияChto takoe logarifm51Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:Chto takoe logarifm53

Читайте также:  Таблица футбола 2020 сборной россии

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник

Определение логарифма, его свойства и график

Логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое.

Если число b в степени y равняется x:

Значит логарифм числа x по основанию b равен y:

Например:

  • Логарифм как обратная функция к показательной
  • Натуральный логарифм (ln)
  • Обратный логарифм
  • Таблица свойств логарифмов
  • Логарифмическая функция
  • График функции логарифма

Логарифм как обратная функция к показательной

Логарифмическая функция y = logb(x) является обратной функцией к показательной x=b y .

Так что, если мы вычислим показательную функцию логарифма х (х > 0) , получится:
f (f -1 (x)) = b log b (x) = x

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е.

Число e – это константа, которая может определяться как предел:

Число e через предел

Число e через предел

Обратный логарифм

Обратный логарифм (или антилогарифм) числа n – это число, логарифм которого по основанию a равен числу n.

Таблица свойств логарифмов

Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[<"row":9,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":10,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":11,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":12,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":15,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Свойство Формула Пример
Основное логарифмическое тождество
Логарифм произведения
Логарифм деления/частного
Логарифм степени
Логарифм числа по основанию в степени » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график
Логарифм корня » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график
Перестановка основания логарифма
Переход к новому основанию
Производная логарифма
Интеграл логарифма
Логарифм отрицательного числа
Логарифм числа, равного основанию
Логарифм бесконечности

Логарифмическая функция

Функция, которая определена формулой f(x)=loga(x) – это логарифмическая функция с основанием a. При этом a>0, a≠1.

График функции логарифма

График логарифмической функции (логарифмика) может быть двух типов, в зависимости от значения основания a:

График логарифма с основанием больше 1

  • a > 1
  • 0

Источник

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Что такое логарифм

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c» . Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182. мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета. Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :

Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:

Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.

Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

Основное логарифмическое тождество:

В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:

А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:

Дальше с этим ничего сделать не сможем.

Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.

Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:

А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:

Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:

А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:

Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:

А в основании тоже можно? Нужно!

Минус два — это степень у основания:

А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:

А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов

С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.

Формула перехода к новому основанию:

Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.

Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.

Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:

Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.

Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:

Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

Начинаем с внутреннего:

И постепенно раскрываем каждый последующий:

После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.

Первый появляется из определения логарифма:

Только не забываем про ОДЗ:

Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:

Не забываем про ОДЗ, тогда получится:

Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:

Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:

Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:

Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:

  1. Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
  2. Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
  3. Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
  4. Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
  5. В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.

Источник

Adblock
detector