Меню

Все корень n й степени таблица

Все корень n й степени таблица

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Читайте также:  Таблица размеров пошива постельного белья

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Источник



Таблица степеней

Таблица степеней чисел с 1 до 10. Калькулятор степеней онлайн. Интерактивная таблица и изображения таблицы степеней в высоком качестве.

Калькулятор степеней

С помощью данного калькулятора вы сможете в режиме онлайн вычислить степень любого натурального числа. Введите число, степень и нажмите кнопку «вычислить».

Таблица степеней от 1 до 10

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4 n 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576
5 n 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625
6 n 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176
7 n 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249
8 n 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824
9 n 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401
10 n 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000

Таблица степеней от 1 до 10

7 10 = 282475249

8 10 = 1073741824

9 10 = 3486784401

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Теория

Степень числа – это сокращенная запись операции многократного умножения числа самого на себя. Само число в данном случае называется — основанием степени, а количество операций умножения — показателем степени.

запись читается: «a» в степени «n».

«a» — основание степени

«n» — показатель степени

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Данное выражение читается: 4 в степени 6 или шестая степень числа четыре или возвести число четыре в шестую степень.

Источник

Корень n-ой степени

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени (\(n=2, 3, 4, 5, 6… \)) некоторого числа \(a\) называют такое неотрицательное число \(b\), которое при возведении в степень \(n\) дает \(a\):

Число \(n\) при этом называют показателем корня.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]<19>\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3] <8>\le \sqrt[3] <19>\le \sqrt[3] <27>$$ $$ 2 \le \sqrt[3] <19>\le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два неотрицательных числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

Корни нужны для точных и сокращенных подсчетов в математике. Это необходимая функция, без которой представить современную математику невозможно. Корень n-ой степени обозначается при помощи всем известного значка радикала. Даже самый простой корень из двух будет равен длинному набору чисел, округлив который вы получите лишь приблизительное значение. Такие числа называются иррациональными и намного лучше представить их в виде радикала.

Основные ограничения и свойства

  • Корень четной степени существует только из положительных чисел. Число, возводимое в четную степень, а затем извлеченное из той же степени не становится исходным, а превращается в модуль этого числа.
  • Из-под знака нечетного показателя корня можно выносить минус. Это упрощает процесс подсчета.

В данном учебном ролике в понятной форме изложены все основные свойства и теоремы корней n-ой степени. Тема непонятна для большинства школьников 7-9 классов, но не по причине их сложности (всего пара определений и свойств), а вследствие неправильной подачи информации в учебниках. Поэтому в данном видео мы расскажем о самом грамотном и понятном определении корня – все то, что действительно нужно запомнить. Далее покажем, как все это можно применить на практике.

Корни бывают четные и нечетные. Основные определения, необходимые для изучения данной темы звучат так: корень четной степени n из числа a — это любое неотрицательное число b, которое при умножении на само себя n раз даст число a . А корень нечетной степени n из числа a — это любое неотрицательное или отрицательное число b, которое также при умножении на само себя даст a.

Источник

Таблица корней по алгебре

Таблица корней — это таблица, с помощью которой можно извлекать квадратные корни чисел от 0 до 99. Пользоваться таблицей очень легко. Просто выберите число десятков по вертикали и число единиц по горизонтали, результат будет на их пересечении. Например, √36=6. 3 выбирается слева, 6 — сверху. Возможно, вам также будет интересна таблица квадратов.

Извлечение корней онлайн

Таблица корней по алгебре (числа от 0 до 99, округление до пятого знака)

√x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1,41421 1,73205 2 2,23607 2,44949 2,64575 2,82843 3
1 3,16228 3,31662 3,4641 3,60555 3,74166 3,87298 4 4,12311 4,24264 4,3589
2 4,47214 4,58258 4,69042 4,79583 4,89898 5 5,09902 5,19615 5,2915 5,38516
3 5,47723 5,56776 5,65685 5,74456 5,83095 5,91608 6 6,08276 6,16441 6,245
4 6,32456 6,40312 6,48074 6,55744 6,63325 6,7082 6,78233 6,85565 6,9282 7
5 7,07107 7,14143 7,2111 7,28011 7,34847 7,4162 7,48331 7,54983 7,61577 7,68115
6 7,74597 7,81025 7,87401 7,93725 8 8,06226 8,12404 8,18535 8,24621 8,30662
7 8,3666 8,42615 8,48528 8,544 8,60233 8,66025 8,7178 8,77496 8,83176 8,88819
8 8,94427 9 9,05539 9,11043 9,16515 9,21954 9,27362 9,32738 9,38083 9,43398
9 9,48683 9,53939 9,59166 9,64365 9,69536 9,74679 9,79796 9,84886 9,89949 9,94987

Таблица корней в виде компактной картинки (удобно для шпаргалки, например, в 8 классе):

таблица корней

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:

Источник

Корни и степени

Степень

Степенью называется выражение вида: , где:

  • – основание степени;
  • – показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Определем понятие степени, показатель которой – натуральное число (т.е. целое и положительное).

  1. По определению: .
  2. Возвести число в квадрат – значит умножить его само на себя:
  3. Возвести число в куб – значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень – значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Степень с рациональным показателем

  • a > 0;
  • n – натуральное число;
  • m – целое число;

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень – это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a Корень из квадрата

Например, . А решения уравнения соответственно и

Кубический корень

Кубический корень из числа – это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа – это число, -я степень которого равна .

Источник

Adblock
detector