Меню

Все формулы приведения тригонометрии таблица

Все формулы приведения тригонометрии таблица

Содержание

Рассмотрим рисунок 1.

Формулы приведения

На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

откуда вытекают формулы:

Если же в формулах (1) и (2) сделать замену: α → – α , то, воспользовавшись свойствами четности тригонометрических функций, мы получим формулы:

Формулы (1), (2), (3) называют формулами приведения.

Таблица формул приведения

В целом формулы приведения удобно представить в виде следующей таблицы.

ТАБЛИЦА — ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Аргумент Формула приведения
синус косинус тангенс котангенс
– α – sin α cos α
cos α sin α
cos α – sin α
π – α sin α – cos α
π + α – sin α – cos α
– cos α – sin α
– cos α sin α
2π – α – sin α cos α
2π + α sin α cos α

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.

Источник



Тригонометрические формулы

В разделе «Тригонометрия» школьного учебника математики вы видите множество формул, которые следует знать. Пытаясь выучить их, вы приходите в ужас и задаетесь вопросом «Зачем?». Формулы нужно знать, чтобы эффективно использовать. Чем больше и лучше вы знаете формулы, тем меньше тратите времени на преобразования тригонометрических выражений, и тем быстрее достигаете цели. Но что делать тому, кому тяжело дается запоминание формализованной информации? Для тригонометрии ответ на этот вопрос, как ни странно, очень прост. Не запоминать все формулы. Учить только часть, замещая остальные знанием определений и свойств тригонометрических функций. Попробуйте воспользоваться моими советами.

Здесь представлены формулы приведения. Чтобы изучить другие группы тригонометрических формул, обратитесь к другим страницам сайта по следующим ссылкам.

9. Формулы приведения.

Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида

к функциям аргумента α, т.е. вместо больших углов можно рассматривать маленькие, принадлежащие I-ой четверти тригонометрического круга.

Все видели такую или подобную таблицу в учебнике.

Таблица 1. Формулы приведения в радианах.

Функция Аргумент β
π − 2 − α π − 2 + α π − α π + α 3π −− 2 − α 3π −− 2 + α 2π − α
sinβ cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinα
cosβ sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cosα
tgβ ctgα − ctgα − tgα tgα ctgα − ctgα − tgα
ctgβ tgα − tgα − ctgα ctgα tgα − tgα − ctgα

Пользоваться ею легко. Достаточно выбрать строку с нужной функцией и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы упростить cos(π − α), нужно взять ответ на пересечении столбца, озаглавленного π − α и строки cosβ. Получим cos(π − α) = − cos(α).

Но как такое заучить наизусть?

Вспомним, что углы можно измерять как в радианах, так и в градусах. π радиан составляют 180º, а π/2, соответственно, 90º. Может кому-то больше понравится заучивать эту таблицу, представленную в градусах?

Таблица 2. Формулы приведения в градусах.

Функция Аргумент β
90º − α 90º + α 180º − α 180º + α 270º − α 270º + α 360º − α
sinβ cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinα
cosβ sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cosα
tgβ ctgα − ctgα − tgα tgα ctgα − ctgα − tgα
ctgβ tgα − tgα − ctgα ctgα tgα − tgα − ctgα

По крайней мере, выглядит компактнее. Но для запоминания всё равно сложно. Поэтому формулы приведения учить наизусть не нужно! Если таблица под рукой — учебник, справочник, шпаргалка — пользуемся таблицей. Если её нет — контрольная, экзамен, ЕГЭ — рисуем круг на черновике.

Пример 1. Нужна формула приведения для cos(π/2 − α) .

формулы приведения на круге

Рисуем на черновике окружность с декартовыми осями. Изображаем на ней угол α — острый угол в I-ой четверти. Удобнее всего брать за образец угол

30º. Отмечаем проекции на осях координат — косинус на горизонтальной оси, синус – на вертикальной.
Находим на окружности точку π/2 и от соответствующей оси откладываем такой же острый угол против часовой стрелки, получится π/2 − α. Отмечаем нужную проекцию: здесь косинус. (Лучше это сделать или более толстой линией, или другим цветом.)
Сравниваем проекции. На глаз видно, что горизонтальная проекция для угла β = π/2 − α (косинус) по длине соответствует вертикальной проекции для α (синус). Все проекции лежат на положительных направлениях осей, значит знаки не изменятся.
Делаем вывод: cos(π/2 − α) = sin(α) .

Не сомневайтесь, рисовать на черновике для себя — это очень быстро. А если получается кривовато, то для начала, до того, как выработается привычка, можете распечатать и пользоваться моими шаблонами, которые находятся здесь.

Пример 2. Нужна формула приведения для sin(π + α) .

формулы приведения на круге

Рисуем окружность с осями (или берем шаблон). Изображаем острый угол в I-ой четверти — угол α. Отмечаем обе проекции на осях координат. Находим на окружности точку π и от соответствующей оси откладываем такой же острый угол по часовой стрелке, получится π + α. Отмечаем нужную проекцию: здесь синус.
Сравниваем проекции. На глаз видно, что искомая проекция (синус угла β = π + α) по длине соответствует вертикальной проекции для α (синус). Но sinα расположен на положительной части оси ординат (угол в первой четверти), а sin(π + α) – на отрицательной части оси (угол в III-ей четверти).
Делаем вывод: sin(π + α) = −sin(α) .

Ускорить как заучивание формул приведения, так и процесс их восстановления по рисунку, можно на основе следующих соображений:

  1. Функции sinx и cosx имеют период 2π или 360º, т.е. их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.
  2. Функции tgx и ctgx имеют период π или 180º, т.е. они не изменятся, если на эти величины изменить аргумент функции. (Обратите внимание, в таблицах для строк tgβ и ctgβ необходимы только первые три столбца. Дальше значения ячеек повторяются, начиная от заголовка строки. Эти ячейки, по-существу, «лишние». В учебниках они приведены для сохранения прямоугольной формы таблицы.)
  3. По определению tgx = sinx/cosx и ctgx = cosx/sinx. Значит формулы приведения можно применить к sinx и cosx. Затем подставить их в определение tgx или ctgx и посмотреть результат. Так что без двух нижних строк таблицы тоже можно обойтись.
  4. Если одно из слагаемых нового угла развернутый угол π или 180º, то функции синус и косинус сохраняются, могут измениться только их знаки.
  5. Если одно из слагаемых нового угла прямой угол π/2 или 90º, то функция синус заменяется на косинус и, наоборот, косинус превращается в синус. Знаки нужно проверить, определив в какой четверти круга находится конечный угол.
Читайте также:  Таблица роста уток черри велли

1) 5tg163/tg17

Подобного рода задачи могут встретиться при решении задач на вычисления или уравнений на ЕГЭ по математике. В частности, в варианте профильного уровня 2021 года это могут быть задания 5, 9, 12. Реже тригонометрия встречается в задании 10. Вот реальные примеры из открытого банка заданий ФИПИ. В варианте ЕГЭ базового уровня это могут быть задания 5 и 7. (Нумерация проетов демонстрационных вариантов начала года.) Также формулы могут понадобиться для решения задач по планиметрии.

Мои ответы, −5 и 12, соответственно. А Ваши?

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь —
mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.

Источник

Формулы приведения

Стоит ли учить формулы приведения?

Вы в состоянии выучить вот такую таблицу? 🙁

А без приведения сложных аргументов тригонометрических функций к аргументам первой четверти на ЕГЭ по математике никуда.

Но нет необходимости учить эту таблицу !

Нужно просто потратить немного времени и понять алгоритм применения формул приведения.

Не будем терять время! Поехали!

Зачем вообще формулы приведения?

Формулы приведения позволяют упростить вычисления, привести сложные аргументы тригонометрических функций к аргументам I четверти.

Вот, например, типичное задание из ЕГЭ по математике:

Вычислите sin2130^<\circ data-lazy-src=

Формулы приведения тригонометрических функций

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`\frac <\pi>2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac <\pi>2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac <\pi>2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac <\pi>2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac <\pi>2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac <\pi>2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac <\pi>2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Для угла (`\frac <3\pi>2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac <3\pi>2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac <3\pi>2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac <3\pi>2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac <3\pi>2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Знаки синуса, косинуса, тангенса котангенса

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.Само привило содержит 3 этапа:

    1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
    2. Для аргументов `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
    3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. ` cos(\pi + \alpha)`.

Функция на противоположную не меняется. Угол ` \pi + \alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .

Ответ: ` cos(\pi + \alpha)= — cos \alpha`

2. `sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)`.

Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `\frac <3\pi>2 — \alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .

Ответ: `sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)= — cos \alpha`

3. `cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)`.

`cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)=cos(\frac <6\pi>2+\frac <\pi>2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac<\pi>2-\alpha))`. Представим `3\pi` как `2\pi+\pi`. `2\pi` — период функции.

Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360^\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac<\pi>2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac<\pi>2-\alpha)= — cos (\frac<\pi>2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac <\pi>2`, `\pi`, `\frac <3\pi>2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac <\pi>2` и `\frac <3\pi>2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.

То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂

Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.

Практические примеры использования формул приведения

Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:

  • задачи на решение прямоугольного треугольника;
  • преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
  • стереометрические задачи.

Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.

Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac<\sqrt 3>3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac<\sqrt 3>2`;

г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac<\sqrt 3>2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac <9\pi>8` и `cos \frac <9\pi>8`; 2) `sin \frac <\pi>8` и `cos \frac <3\pi>10`.

Решение: 1)`sin \frac <9\pi>8=sin (\pi+\frac <\pi>8)=-sin \frac <\pi>8`

`cos \frac <9\pi>8=cos (\pi+\frac <\pi>8)=-cos \frac <\pi>8=-sin \frac <3\pi>8`

`-sin \frac <\pi>8> -sin \frac <3\pi>8`

2) `cos \frac <3\pi>10=cos (\frac <\pi>2-\frac <\pi>5)=sin \frac <\pi>5`

`sin \frac <\pi>8 Доказательство формул приведения

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac <\pi>2 + \alpha`: ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Доказательство формул приведения

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac <\pi>2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac <\pi>2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac <\pi>2 + \alpha)=\frac 2 + \alpha)>2 + \alpha)>=\frac <-sin \alpha>=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac <\pi>2 + \alpha)=\frac 2 + \alpha)>2 + \alpha)>=\frac <-sin \alpha>=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac <\pi>2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac <\pi>2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac <\pi>2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac <\pi>2 — \alpha)=cos(\frac <\pi>2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac <\pi>2 +(\frac <\pi>2+\alpha)` и `\frac <\pi>2 +(\frac <\pi>2-\alpha)` соответственно.

А `\frac <3\pi>2 + \alpha` и `\frac <3\pi>2 — \alpha` как `\pi +(\frac <\pi>2+\alpha)` и `\pi +(\frac <\pi>2-\alpha)`.

Источник

Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило

Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.

Формулы приведения. Список

Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π 2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии.

Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов.

  • Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются угды вида ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Здесь z — любое целое число, а α — произвольный угол поворота.
  • Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых довольно внушительно. Существует мнемоническое правило, которо позволяет легко вывести нужную формулу. Речь о мнемоническом правиле пойдет позже.

Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.

Примеры использования формул приведения

Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров.

Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а множеством способов. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен в видах ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Продемонстрируем это.

Возьмем угол α = 16 π 3 . Это угол можно записать так:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π · 2 α = 16 π 3 = — 2 π 3 + 2 π · 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 — π 6 + 2 π

В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.

Возьмем тот же угол α = 16 π 3 и вычислим его тангенс

Пример 1. Использование формул приведения

α = 16 π 3 , t g α = ?

Представим угол α = 16 π 3 в виде α = π + π 3 + 2 π · 2

Этому представлению угла будет соответствовать формула приведения

t g ( π + α + 2 π z ) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π · 2 = t g π 3

Воспользовавшись таблицей, укажем значение тангенса

Теперь используем другое представление угла α = 16 π 3 .

Пример 2. Использование формул приведения

α = 16 π 3 , t g α = ? α = — 2 π 3 + 2 π · 3 t g 16 π 3 = t g — 2 π 3 + 2 π · 3 = — t g 2 π 3 = — ( — 3 ) = 3

Наконец, для третьего представления угла запишем

Пример 3. Использование формул приведения

α = 16 π 3 = 3 π 2 — π 6 + 2 π t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α t g α = t g ( 3 π 2 — π 6 + 2 π ) = c t g π 6 = 3

Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее

Пример 4. Использование формул приведения

Представим sin 197 ° через синус и косинус острого угла.

Для того, чтобы можно было применять формулы приведения, нужно представить угол α = 197 ° в одном из видов

± α + 360 ° · z , 90 ° ± α + 360 ° · z , 180 ° ± α + 360 ° · z , 270 ° ± α + 360 ° · z . Согласно условию задачи, угол должен быть острым. Соответственно, у нас есть два способа для его представления:

197 ° = 180 ° + 17 ° 197 ° = 270 ° — 73 °

sin 197 ° = sin ( 180 ° + 17 ° ) sin 197 ° = sin ( 270 ° — 73 ° )

Теперь посмотрим на формулы приведения для синусов и выберем соответствующие

sin ( π + α + 2 πz ) = — sinα sin ( 3 π 2 — α + 2 πz ) = — cosα sin 197 ° = sin ( 180 ° + 17 ° + 360 ° · z ) = — sin 17 ° sin 197 ° = sin ( 270 ° — 73 ° + 360 ° · z ) = — cos 73 °

Мнемоническое правило

Формул приведения много, и, к счастью, нет необходимости заучивать их наизусть. Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника — искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа.

1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Угол α должен лежать в пределах от 0 до 90 градусов.

2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы.

3. Для углов ± α + 2 πz и π ± α + 2 πz название исходной функции остается неизменным, а для углов π 2 ± α + 2 πz и 3 π 2 ± α + 2 πz соответственно меняется на «кофункцию». Синус — на косинус. Тангенс — на котангенс.

Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила.

Пример 1. Использование мнемонического правила

Запишем формулы приведения для cos π 2 — α + 2 πz и t g π — α + 2 πz . α — улог первой четверти.

1. Так как по условию α — улог первой четверти, мы пропускаем первый пункт правила.

2. Определим знаки функций cos π 2 — α + 2 πz и t g π — α + 2 πz . Угол π 2 — α + 2 πz также является углом первой четверти, а угол π — α + 2 πz находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе.

cos π 2 — α + 2 πz = + t g π — α + 2 πz = —

3. Согласно третьему пункту для угла π 2 — α + 2 π название функции изменяется на конфуцию, а для угла π — α + 2 πz остается прежним. Запишем:

cos π 2 — α + 2 πz = + sin α t g π — α + 2 πz = — t g α

А теперь заглянем в формулы, приведенные выше, и убедимся в том, что мнемоническое правило работает.

Рассмотрим пример с конкретным углом α = 777 ° . Приведем синус альфа к тригонометрической функции острого угла.

Пример 2. Использование мнемонического правила

1. Представим углол α = 777 ° в необходимом виде

777 ° = 57 ° + 360 ° · 2 777 ° = 90 ° — 33 ° + 360 ° · 2

2. Исходный угол — угол первой четверти. Значит, синус угла имеет положительный знак. В итоге имеем:

3. sin 777 ° = sin ( 57 ° + 360 ° · 2 ) = sin 57 ° sin 777 ° = sin ( 90 ° — 33 ° + 360 ° · 2 ) = cos 33 °

Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз.

Угол α должен быть острым!

Вычислим тангенс угла 5 π 3 . Из таблицы значений основных тригонометрических функций можно сразу взять значение t g 5 π 3 = — 3 , но мы применим мнемоническое правило.

Пример 3. Использование мнемонического правила

Представим угол α = 5 π 3 в необходимом виде и воспользуемся правилом

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = — c t g π 6 = — 3 t g 5 π 3 = t g 2 π — π 3 = — t g π 3 = — 3

Если же представить угол альфа в виде 5 π 3 = π + 2 π 3 , то результат применениея мнемонического правила будет неверным.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = — t g 2 π 3 = — ( — 3 ) = 3

Неверный результат обусловлен тем, что угол 2 π 3 не явдяется острым.

Формулы приведения. Доказательство

Доказательство формул приведения основывается на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвига на углы π 2 и 3 π 2 . Доказательство справедливости всех формул приведения иожно проводить без учета слагаемого 2 πz , так как оно обозначает изменение угла на целое число полных оборотов и как раз отражает свойство периодичности.

Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса.

Приведем доказательство формул приведения для синусов и косинусов

sin π 2 + α = cos α и cos π 2 + α = — sin α

Посмотрим на единичную окружность, начальная точка которой после повоторота на угол α перешла в точку A 1 x , y , а после поворота на угол π 2 + α — в точку A 2 . Из обеих точек проведем перпендикуляры к оси абсцисс.

Формулы приведения. Доказательство

Два прямоугольных треугольника O A 1 H 1 и O A 2 H 2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и равенства треугольников можно сделать вывод о том, что точка A 2 имеет координаты A 2 — y , x . Используя определения синуса и косинуса, запишем:

sin α = y , cos α = x , sin π 2 + α = x , cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α , cos π 2 + α = — sin α

С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α — sin α = — c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = — sin α cos α = — t g α

Для доказательства формул приведения с аргументом π 2 — α его необходимо представить в виде π 2 + ( — α ) . Например:

cos π 2 — α = cos π 2 + ( — α ) = — sin ( — α ) = sin α

В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку.

Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше.

Источник

Adblock
detector