В математике таблицы тригонометрических функций полезны во многих областях. До существования карманных калькуляторов , тригонометрические таблицы были необходимы для навигации , науки и техники . Расчет математических таблиц был важной областью исследований, которая привела к разработке первых механических вычислительных устройств .
Современные компьютеры и карманные калькуляторы теперь генерируют значения тригонометрических функций по запросу, используя специальные библиотеки математического кода. Часто эти библиотеки используют предварительно рассчитанные таблицы внутри и вычисляют требуемое значение, используя соответствующий метод интерполяции . Интерполяция простых справочных таблиц тригонометрических функций все еще используется в компьютерной графике , где может потребоваться лишь умеренная точность, а скорость часто имеет первостепенное значение.
Еще одно важное применение тригонометрических таблиц и схем генерации — это алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), где одни и те же значения тригонометрической функции (называемые коэффициентами вращения ) должны оцениваться много раз в данном преобразовании, особенно в общем случае, когда много преобразований рассчитываются одинаковые размеры. В этом случае вызов стандартных библиотечных подпрограмм каждый раз является недопустимо медленным. Один из вариантов — вызвать библиотечные подпрограммы один раз, чтобы создать таблицу тех тригонометрических значений, которые потребуются, но это требует значительного объема памяти для хранения таблицы. Другая возможность, поскольку требуется регулярная последовательность значений, заключается в использовании формулы повторения для вычисления тригонометрических значений на лету. Значительные исследования были посвящены поиску точных, стабильных схем повторения, чтобы сохранить точность БПФ (которое очень чувствительно к тригонометрическим ошибкам).
СОДЕРЖАНИЕ
1 Вычисление по запросу
2 формулы половинного угла и сложения углов
3 Быстрое, но неточное приближение
4 Лучшая, но все еще несовершенная формула повторения
5 См. Также
6 Ссылки
Вычисление по запросу
Современные компьютеры и калькуляторы используют различные методы для получения значений тригонометрических функций по запросу для произвольных углов (Kantabutra, 1996). Один из распространенных методов, особенно на высокопроизводительных процессорах с модулями с плавающей запятой , заключается в объединении полиномиального или рационального приближения (например, приближения Чебышева , наилучшего равномерного приближения и приближения Паде , и, как правило, для более высокой или переменной точности, рядов Тейлора и Лорана). ) с уменьшением диапазона и поиском в таблице — сначала они ищут ближайший угол в небольшой таблице, а затем используют полином для вычисления поправки. Однако сохранение точности при выполнении такой интерполяции нетривиально; и такие методы, как точные таблицы Гала, редукция Коди и Уэйта и алгоритмы редукции Пейна и Ханека, могут использоваться для этой цели. На более простых устройствах, в которых отсутствует аппаратный умножитель , существует алгоритм под названием CORDIC (а также связанные с ним методы), который более эффективен, поскольку использует только сдвиги и добавления. Все эти методы обычно реализуются аппаратно из соображений производительности.
Конкретный полином, используемый для аппроксимации триггерной функции, генерируется заранее с использованием некоторой аппроксимации алгоритма минимаксной аппроксимации .
Для очень точных вычислений, когда сходимость разложения в ряд становится слишком медленной, тригонометрические функции могут быть аппроксимированы средним арифметико-геометрическим , которое само аппроксимирует тригонометрическую функцию ( комплексным ) эллиптическим интегралом (Brent, 1976).
Тригонометрические функции углов, рациональных кратных 2π, являются алгебраическими числами . Значения для a / b · 2π могут быть найдены путем применения тождества де Муавра для n = a к корню b- й степени из единицы , который также является корнем многочлена x b — 1 на комплексной плоскости . Например, косинус и синус 2π ⋅ 5/37 — это действительная и мнимая части , соответственно, 5-й степени корня 37-й степени из единицы cos (2π / 37) + sin (2π / 37) i, что является корень многочлена степени -37 x 37 — 1. В этом случае алгоритм нахождения корня, такой как метод Ньютона, намного проще, чем описанные выше алгоритмы среднего арифметико-геометрического, но сходятся с аналогичной асимптотической скоростью. Однако последние алгоритмы требуются для трансцендентных тригонометрических констант.
Формулы полуугла и сложения углов
Исторически сложилось так, что самый ранний метод расчета тригонометрических таблиц и, вероятно, наиболее распространенный до появления компьютеров, заключался в многократном применении тригонометрических тождеств с половинным углом и сложением углов, начиная с известного значения (например, sin (π / 2 ) = 1, cos (π / 2) = 0). Этот метод использовал древний астроном Птолемей , который вывел их в Альмагесте , трактате по астрономии. В современной форме полученные им тождества формулируются следующим образом (со знаками, определяемыми квадрантом, в котором находится x ):
потому что ( Икс 2 ) знак равно ± 1 2 ( 1 + потому что Икс ) <\ displaystyle \ cos \ left (<\ frac <2>> \ right) = \ pm <\ sqrt <<\ tfrac <1><2>> (1+ \ cos x)>>>
Они были использованы для построения таблицы аккордов Птолемея , которая применялась к астрономическим задачам.
Возможны различные другие перестановки этих тождеств: например, в некоторых ранних тригонометрических таблицах использовались не синус и косинус, а синус и версин .
Быстрое, но неточное приближение
Быстрый, но неточный алгоритм вычисления таблицы из N приближений sn для sin (2 π n / N ) и cn для cos (2π n / N ):
s = 0 с = 1 sn +1 знак равно sn + d × cncn +1 = cn — d × sn
для п = 0, . N — 1, где d = 2π / N .
d s / d т знак равно c <\ displaystyle ds / dt = c> d c / d т знак равно — s <\ displaystyle dc / dt = -s>
с начальными условиями s (0) = 0 и c (0) = 1, аналитическое решение которого s = sin ( t ) и c = cos ( t ).
К сожалению, это не является полезным алгоритмом генерации таблиц синуса , поскольку он имеет значительную ошибку, пропорциональную 1 / N .
Например, для N = 256 максимальная ошибка значений синуса составляет
0,061 ( с202 = -1,0368 вместо -0,9757). Для N = 1024 максимальная ошибка значений синуса составляет
0,015 ( s803 = -0,99321 вместо -0,97832), что примерно в 4 раза меньше. Если бы полученные значения синуса и косинуса были нанесены на график, этот алгоритм нарисовал бы логарифмическую спираль, а не круг.
Лучшая, но все еще несовершенная формула повторения
Простая формула повторения для создания тригонометрических таблиц основана на формуле Эйлера и соотношении:
е я ( θ + Δ ) знак равно е я θ × е я Δ θ <\ Displaystyle е ^ <я (\ тета + \ Дельта)>= е ^ <я \ тета>\ раз е ^ <я \ Дельта \ тета>>
Это приводит к следующему повторению для вычисления тригонометрических значений sn и cn, как указано выше:
с = 1 s = 0 cn +1 знак равно wrcn — wisnsn +1 знак равно wicn + wrsn
для n = 0, . N — 1, где wr = cos (2π / N ) и wi = sin (2π / N ). Эти два исходных тригонометрические значения обычно вычисляется с использованием существующих библиотечных функций (но можно также найти , например , с использованием метода Ньютона в комплексной плоскости , чтобы решить для примитивного корня из гN — 1).
Этот метод дает точную таблицу в точной арифметике, но имеет ошибки в арифметике с плавающей запятой конечной точности . Фактически, ошибки растут как O (ε N ) (как в худшем, так и в среднем случае), где ε — точность с плавающей запятой.
Существенным улучшением является использование следующей модификации вышеупомянутого, трюка (из-за Синглтона, 1967), часто используемого для генерации тригонометрических значений для реализаций БПФ:
с = 1 s = 0 cn +1 = cn — (α cn + β sn ) sn +1 = sn + (β cn — α sn )
где α = 2 sin 2 (π / N ) и β = sin (2π / N ). Ошибки этого метода намного меньше, O (ε √ N ) в среднем и O (ε N ) в худшем случае, но этого все же достаточно, чтобы существенно ухудшить точность БПФ больших размеров.
Источник
Таблицы тригонометрических функций
Что такое таблицы тригонометрических функций
Как выглядит для значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Таблицы Брадиса основных тригонометрических функций
Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе.
Для определения неизвестных элементов треугольника (сторон или углов), необходимо использовать известные элементы и правила зависимости между ними. Подобные зависимости называют также тригонометрическими функциями. Таким образом, зная значения некоторого угла или стороны, пользуясь тригонометрическими функциями можно найти неизвестные углы и стороны треугольника. Именно поэтому, без знаний тригонометрии решать геометрические задачи не представляется возможным.
Основные тригонометрические функции:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему. Также равен частному от деления синуса определенного угла на его косинус.
Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему. Также равен частному от деления косинуса определенного угла на его синус.
Синус и косинус являются прямыми тригонометрическими функциями, тангенс и котангенс — производными. Существуют и другие тригонометрические функции, например — арктангенс. Арктангенс относится к так называемым обратным тригонометрическим функциям, и является функцией, обратной тангенсу. Это означает, что если тангенс некоторого угла у градусов (радиан) равен х, значит арктангенс x равняется y градусов (радиан).
Вычисленные тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) представляют в виде специальных таблиц, которые можно использовать при решении задач — это и есть таблицы тригонометрических функций. В них приведены значения тригонометрических функций углов от 0° до 360°.
Для прямоугольных треугольников в диапазоне углов от 30° до 90° тригонометрические функции равняются следующим значениям:
sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3 sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tg 45°= 1, ctg 45° = 1 sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° =√3 , ctg 60° = √3/3
Как выглядит для значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Таблица тригонометрических функций выглядит следующим образом:
Значение аргумента α задано в верхней строке задано в градусах (от 0° до 90°), во второй строке — в радианах (0, π/6, π/4, π/3, π/2 радиан). Иногда в таблице присутствуют значения только в радианах. Для перевода в градусы необходимо подставить число π = 180°, например, π/6 = 180/6 = 30°.
Обозначение «не определен» в таблице (тангенс 90° и котангенс 0°) означает, что функция является неопределенной.
Алгоритм решения задач с помощью данной таблицы крайне прост. К примеру, нам необходимо найти значение косинуса 30°. Для этого найдем ячейку пересечения строки косинуса и столбца значений для 30°. В данной ячейке находится искомое значение.
Таблицы Брадиса основных тригонометрических функций
Для нахождения более точных значений тригонометрических функций острых углов (с точностью до четырех знаков после запятой) можно использовать таблицы Брадиса. За счет своей точности таблицы могут применяться как для простых задач, так и для сложных математических вычислений.
Таблица Брадиса выглядит следующим образом:
Как правильно пользоваться
Данные таблицы разделяются на несколько таблиц — отдельно для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. С помощью, так называемых, поправок можно найти значения синусов и косинусов, не вошедшие в таблицу.
Строки таблицы показывают градусы, столбцы — доли градусов, также называемые минутами (1 градус ° равняется 60 минутам´). Таким образом, чтобы найти значение тригонометрической функции для угла X°Y´, необходимо найти пересечение строки X° и столбца Y´. В найденной ячейке будет находиться искомое значение.
В крайних правых столбцах таблицы находятся столбцы с поправками. Данные поправки используются в случае, если искомый угол отсутствует в таблице (разница — 1-3´). Чтобы найти подобный угол, необходимо найти в таблице угол, наиболее близкий к искомому, и к значению тригонометрической функции для него прибавить (для синусов) или отнять (для косинусов) значение поправки.
Так же, как и в случае с простыми таблицами тригонометрических функций, для нахождения значений функций для углов больше 90°, сначала необходимо воспользоваться формулами приведения.
Тригонометрические функции обладают свойством периодичности. Это позволяет сделать более полной таблицу со значениями от 0° до 90° с помощью формул приведения и находить значения тригонометрических функций для произвольно выбранных углов. Использование формул приведения сводится к переходу от произвольно выбранного угла к углу меньше 90°, значения которых уже можно легко найти в обычной таблице.
Формул приведения довольно много, и заучивать их, в основном, не требуют. В данных формулах аргументами тригонометрических функций обычно являются углы следующего вида:
±α+2π·z;
π/2±α+2π·z;
π±α+2π·z;
3π/2±α+2π·z, где z — любое натуральное число, а альфа — произвольный угол поворота.
Список формул приведения выглядит следующим образом:
В них можно использовать как градусы, так и радианы.
Для работы с формулами приведения необходимо представить искомый угол в виде одного из перечисленных выше аргументов и подставить в формулу приведения.
Для примера возьмем угол, равный 16π/3. Его можно представить в виде π+ π/3+2 π·2, а также несколькими другими способами. Косинус данного угла в таком случае будет равен:
cos(16π/3) = cos(π+ π/3+2 π·2) = cos(π/3)
Данное значение мы уже можем найти в обычной таблице тригонометрических функций, значение cos(π/3) = 1/2.
На основе формул приведения можно составить расширенную таблицу тригонометрических функций. В расширенную таблицу входят значения тригонометрических функций для углов 0°, 30°, 60°, . 120°, 135°, 150°, 180°, . 360° (им соответствуют значения 0, π/6, π/3, π/2, …, 2π радиан).
Источник
Тригонометрия за 5 минут! Тригонометрические функции и тригонометрический круг простыми словами
Тригонометрия простыми словами
Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Или в виде формул:
s
r
c
r
s
c
c
s
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
Значения тригонометрических функций для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.
В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.
Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.
Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.
Например, для угла 90° будет
90°
180°
1
2
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Источник
Тригонометрическая таблица
В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90. 360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций. Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным
Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3 sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1 sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3
Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!
Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:
Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z . 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.
Разберем наглядно как использовать таблицу в решении. Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:
В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.
Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.
Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).
Синус и косинус
tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .
tg до 90 0 и ctg малых углов.
Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.
Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040. Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046. При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054 При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397 Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967 а ctg 20 0 13мин = 25,83
Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Источник
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Тригонометрический круг
Основное тригонометрическое тождество
Таблица значений тригонометрических функций
Градусы и радианы
Формулы приведения
Теорема синусов
Расширенная теорема синусов
Теорема косинусов
Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
Примеры решений заданий из ОГЭ
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
