Меню

Таблица умножения или сложения класса вычетов



Класс вычетов

Сравнение по модулю натурального числа — отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются) после достижения определенного значения.

В дискретной математике, для сравнений по модулю используется также термин модульная (или модулярная) арифметика.

Содержание

Определения

Говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю натурального числа n , если при делении на n они дают одинаковые остатки.

Эквивалентные формулировки: a и b сравнимы по модулю n , если их разность ab делится на n , или если a может быть представлено в виде a = b + kn , где k — некоторое целое число.

  • Пример: 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как 32 = 7∙4 + 4, −10 = 7∙(-2) + 4.

Утверждение « a и b сравнимы по модулю n » записывается в виде:

a\equiv b\pmod n.

Свойства

Отношение сравнения является отношением эквивалентности и обладает многими свойствами обычных равенств. Например, их можно складывать и перемножать: если

a_1 \equiv b_1 \pmod n; \qquad a_2 \equiv b_2 \pmod n,

a_1a_2 \equiv b_1b_2 \pmod n; \qquad a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \pmod n.

Сравнения, однако, нельзя, вообще говоря, делить друг на друга или на другие числа. Пример: 14 \equiv 20 \pmod 6, однако, сократив на 2, мы получаем ошибочное сравнение: 7 \equiv 10 \pmod 6. Правила сокращения для сравнений следующие.

    Можно делить обе части сравнения на число, взаимно простое с модулем: если ac \equiv bc \pmod nи НОД</p data-lazy-src=

Нельзя также выполнять операции со сравнениями, если их модули не совпадают.

  • Если a \equiv b\pmod <m_1 data-lazy-src=
  • Если a \equiv b \pmod m, то a, b сравнимы по любому модулю — делителю m.

Классы вычетов

Множество всех чисел, сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n , и обычно обозначается [a]n или \bar a_n. Таким образом, сравнение a\equiv b\pmod nравносильно равенству классов вычетов [a]n = [b]n .

Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел \mathbb<Z data-lazy-src=

[a]n + [b]n = [a + b]n

Относительно этих операций множество \mathbb<Z data-lazy-src=

Таблица сложения

Сложение (или суммирование) является одним из часто выполняемых математических действий. Результат сложения часто представляют в таблице сложения. Ниже представлены некоторые способы ее оформления и калькулятор, с помощью которого можно ввести известные первое и второе слагаемые и найти сумму автоматически.

Калькулятор сложения онлайн. Найти сумму.

Сложение является одним из часто выполняемых математических действий. Результат сложения часто представляют в таблице сложения. Ниже представлен один из способов ее оформления.

Таблица сложения до 10 для распечатывания.

tablica-slozheniya-chisell

Для скачивания можно нажать на правую кнопку мышки над картинкой и выбрать «сохранить как».

Или скачать файлы ниже.

Вложение Размер
Таблица сложения, столбики примеров 113.78 КБ
Таблица сложения до 10, до 20 и в пределах 10 для распечатывания. 59.5 КБ

В первом столбце и в первой строке записаны слагаемые, в ячейках на пересечении соответствующих столбцов и строк записаны результаты.
Например, если первое слагаемое равно 4, а второе равно 3, то сумма будер равна 7:

tablica_slozheniya

Другие варианты, в том числе до 20, таблицу в другом цветовом оформлении можно найти и скачать для распечатывания в конце статьи. Кроме таблиц для удобного счета с древних времен используют также и другие способы, они описаны в соответствующем разделе, в этой же статье речь пойдет прежде всего о таблицах.

Прежде чем приступать к описанию этой темы, следует определиться с основными понятиями.

Например, что значит запись «4 + 5 = 9», и как это отразить в таблице сложения. В большинстве современных книг по математике приняты определенные названия для каждого из этих чисел. Мы будем применять на этой странице наиболее распространенные на сегодняшний день. Согласно общепринятой терминологии, в вышеприведенном примере 4 и 5 – это слагаемые, 9 – сумма. Сложение также иногда называют прибавлением и суммированием, нахождением суммы. Также в математике есть термин «операция сложения». Слагаемые иногда называют суммируемыми, а результат — результатом сложения или результатом суммирования.

Часто начинают изучение со сложения простых чисел. Первым этапом является сложение чисел до 10, далее от 10 до 20. На этих этапах для более быстрого запоминания пользуются таблицами, которые, как и таблицу умножения, можно найти на оборотах некоторых тетрадей. Существует два вида таких таблиц сложения. Первый – это, собственно говоря, не совсем таблица, а скорее сгруппированные простые равенства.

Таблица сложения равенства.
tablica-slozheniya-chisel
Расширенный вариант обычно представляют в следующем виде.
tablica-slozheniya-do-20-1

 tablica-slozheniya-do-20-2
Есть и другой способ. В представленной ниже таблице в первой строке и в первом столбце находятся слагаемые, в ячейках на пересечении соответствующих столбцов и строк записаны суммы двух этих чисел. Рассмотрим на конкретных примерах, как можно пользоваться таблицей сложения.

Таблица сложения до 20

tablica-slozheniya-raspechatat
Сложим 3 и 4. Находим число 3 по горизонтали и число 4 по вертикали. Мысленно проводим линии до места пересечения. Это и есть искомое значение. Нетрудно заметить, что если мы поменяем местами значения и отыщем по горизонтали 4, а по вертикали — 3, то также в ячейке будет 7.
tablica-slozheniya-do-10

Отсюда вытекает одно из свойств, справедливых для суммы чисел. Звучит оно так: «От перестановки мест слагаемых сумма не меняется». Это свойство справедливо и для большего количества слагаемых. Разберемся в вопросе о том, можно ли данной таблицей пользоваться в случае сложения нескольких слагаемых. Ответ: можно, но до определенных значений. В этом случае действия нужно производить постепенно. Сначала складываем первые два слагаемых, получаем некое число. Если это простое число, которое входит в таблицу, то мы находим его и к нему прибавляем оставшееся и так далее. То есть, ориентируемся на наличие значений в таблице. Например, 4+5+6. Начала находим результат для действия 4 + 5, в ячейке на пересечении их столбца и строки находится 9. Далее выполняем действие 9+6. Находим в таблице 9 и 6. Далее все аналогично. Для больших чисел обычно таблицы не составляются. Таблица вычитания. Этой же таблицей можно пользоваться и для операции вычитания. В этом случае производим обратные действия. В самой таблице находим значение, из которого нужно вычесть число. Затем проводим линию до того числа, которое вычитается, остается мысленно дойти до оставшегося значения. Оно и будет искомым. Совсем просто это можно осуществить при помощи линейки. В данном случае линейка подставляется от вычитаемого числа сначала вертикально, затем горизонтально. Или наоборот. Для быстрого устного счета часто запоминают результаты сложения, и со временем уже нет необходимости наличия таблицы перед глазами.

Для ознакомления также ниже представлены более старые варинты таблицы.

Таблицы сложения значительно упрощают повседневный счет, поэтому много лет назад люди начали их использовать и некоторые из них мы можем видеть в сохранившихся книгах. Например, так выглядела таблица сложения в книге «Арифметика» Магницкого Л. Ф. 1703 года издания.

tablica-slozheniya
(на картинке фото фрагмента из оцифрованной версии книги, саму книгу найти было достаточно сложно, поэтому использована сканированная версия, которая есть в широком доступе) Так выглядит эта таблица в воспроизведении (переиздании) той же книги, сделанном в 1914 году под редакцией П. Баранова:
tablica-slozheniya-chisell
(на картинке как раз фотография тоже сканированной версии переиздания 1914 года).

Источник

Порядок действий в математике

О чем эта статья:

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше ( )
меньше (

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

  • действия выполняются по порядку слева направо
  • сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

решение примера

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

  • Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

порядок действий

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Источник

Глава 2. Классы вычетов – арифметика остатков

n 1 фиксированное

Z / nZ 0,1. n 1 всевозможных остатков от деления целых чисел на n называется кольцом классов вычетов по модулю n . На множестве опреде-

лены операции сложения и умножения

по правилам: суммой (произведе-

классов a , b Z / nZ называется

класс, равный остатку от деления

( a b ) на n . Ввиду такой специфики операций элементы Z / nZ будем

обозначать символами a вместо a . Оказывается, операции такого остаточного сложения и умножения наследуют основные свойства сложения и умножения целых чисел. Ввиду конечности количества элементов остаточное сложение и умножение можно задавать в виде таблиц.

Пример 1.2.1. Запишем таблицы сложения и умножения элементов в кольце классов вычетов Z /3 Z :

Таблицы ярко демонстрируют экзотичность операций в кольце классов вычетов. Здесь, как видим, сумма ненулевых классов может равняться нулю, а «дважды два» далеко не четыре, а 1. Это означает, что класс 2 является обрат-

ным самому себе.

Определение 1.2.1. Элемент

дется такой класс

. Тогда класс вычетов

зывают обратным к классу вычетов

и его обозначают символом

Пример 1.2.2. Приведем таблицу умножения в кольце Z /8 Z

В данном примере, как видим из таблицы умножения, обратимыми явля-

ются 4 класса вычетов (половина элементов кольца): 1, 3, 5, 7. Классы

0, 2, 4, 6 не являются обратимыми. В кольце Z мы наблюдали однозначность разложения на множители и существование простых чисел. Здесь эти свойства теряются: 2 3 6 2 5 6 7; 4 2 2 2 6 4 7 4 3; 6 2 3 2 7 5 6.

Неоднозначность разложения на множители налицо, при этом ни один из необ-

ратимых классов нельзя отнести к разряду простых: 2 делится и на себя и на

6, 4 делится и на 2 и на 6, 6 делится и на себя и на 2.

Эмпирически определить наличие обратных элементов у данного класса k можно по таблице умножения: если в k -й строке этой таблицы найдется элемент 1, то первый элемент столбца, в котором находится найденный класс 1, и

есть обратный к классу k .

Разумеется, реально построить таблицу умножения можно лишь для небольших значений m . Отметим свойства строк таблиц умножения в общем случае.

Лемма 1.2.1. Пусть k такой класс кольца Z / mZ , что НОД ( k , m ) 1 . То-

гда: 1) для каждого l 0 произведение k l 0 , 2) k l k s , если l s ; 3) отображение k : Z / mZ Z / mZ , действующее по правилу k ( x ) k x ,

является взаимно однозначным; 4) k – обратимый класс в кольце Z / mZ . Лемма 1.2.2. Пусть k Z / mZ , такой, что НОД( k , m ) d 1 . Тогда:

1) существует такой ненулевой класс l Z / mZ , что k l 0 ;

2) найдутся ненулевые классы l 1 , l 2 Z / mZ , такие, что k l 1 k l 2 ;

3) k l 1 для всех классов l Z / mZ , следовательно, класс k необратим в кольце Z / mZ .

Из лемм 1.2.1 и 1.2.2 вытекает

Критерий обратимости классов вычетов. Класс k Z / mZ обратим в этом кольце тогда и только тогда, когда НОД( k , m ) 1 . Если обратный к дан-

ному классу k Z / mZ существует, то он также обратим. Произведение обратимых классов кольца Z / mZ есть также обратимый класс. В частности, если m p простое число, то в кольце Z / mZ каждый ненулевой класс обратим.

Определение 1.2.2 . Множество Z / mZ всех обратимых элементов кольца Z / mZ называется мультипликативной группой этого кольца.

Из критерия вытекает следующий алгоритм нахождения обратного класса к данному классу k Z / mZ . Вычисляем по алгоритму Евклида НОД( k , m ) .

Если НОД( k , m ) d 1 , то класс k необратим. Пусть НОД( k , m ) 1 . Для чисел k и m с помощью расширенного алгоритма Евклида строим соотношение Безу ku mv 1. Это равенство влечет соответствующее равенство классов

вычетов: k u m v 1 . Мы знаем, что m 0. Следовательно, имеем ра-

венство k u 1 , которое и означает, что k 1 u . При этом часто оказывает-

ся, что u 0,1. m 1 . Поэтому формальная запись

Источник

Читайте также:  Самые сильные армии мира таблица
Adblock
detector