Таблица оригиналов и изображений лапласа для чего

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа представляет собой интегральное уравнение, связывающее функцию действительной переменной времени и функцию комплексной переменной р:

Это уравнение называется прямым преобразованием Лапласа, в котором L является условным обозначением этого преобразования, называется оператором, — оригиналом, а — изображением.

Вместо (6.12) соответствие между функциями и может записываться и так:

Для того, чтобы можно было провести преобразование (6.12), функция при >0 должна за любой конечный промежуток времени иметь конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, а также иметь ограниченный порядок возрастания. То есть для данной функции можно указать такие положительные числа А и a, при которых

1. Активное сопротивление R.

Уравнение для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение и учитывая свойство линейности интегрального преобразования, получим операторное уравнение

Активное сопротивление R и соответствующее ему операторное сопротивление, как следует из (6.16), равны. Схемы, соответствующие уравнениям (6.15) и (6.16), представлены на рис. 6.4.

i(t) R I(p) R

u (t) U (p)

2. Индуктивный элемент L.

Уравнение индуктивности для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторные уравнения для индуктивности:

Выражениям (6.17) соответствуют операторная эквивалентная схема (рис. 6.5). Величина pL называется индуктивным операторным сопротивлением, — индуктивной операторной проводимостью. Начальное значение тока в индуктивности i_L(0) учитывается в виде дополнительного источника ЭДС E_L. При нулевых начальных условиях дополнительный источник в операторном уравнении (6.17) и соответственно на схеме замещения индуктивности отсутствует.

L I (p) pL

3. Емкостной элемент С.

Уравнение емкости для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение

и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторное уравнение для емкости:

На рис. 6.6 представлена схема, соответствующая уравнению (6.18) для мгновенных значений токов и напряжений и уравнениям (6.19) для операторных токов и напряжений. Величина называется емкостным операторным сопротивлением, рС – емкостной операторной проводимостью. Начальное значение напряжения учитывается, как видно из уравнений (6.19) и рис. 6.6, в виде дополнительного источника ЭДС .

С « I (p) 1/ pC

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник



Таблица преобразований Лапласа, таблица Лапласа

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) — изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

Преобразование Лапласа является одним из самых мощных инструментов для решения очень многих задач в области математики, экономики, радиотехники, геометрии, теории управления, микропроцессоров, теории вероятности, теории массового обслуживания и много другого. Часто для решения задачи достаточно получить преобразование Лапласа от искомой функции (именно здесь и пригодится таблица преобразований Лапласа). Также преобразование Лапласа используют при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, для решения интегральных уравнений, вычисления несобственных интегралов, для представления сигнала в спектральной области и многого другого!

Если в преобразовании Лапласа или таблице преобразований Лапласа Вам что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады Вам помочь!

Таблица преобразований Лапласа, таблица Лапласа

В данный момент продолжается разработка таблицы Лапласа и в ближайшее время будут добавлены новые значения в таблицу преобразований Лапласа.

Источник

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Глава 7. Элементы операционного исчисления

Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение

Рассмотрим функцию вещественного переменного $f(t)$ определенную на всей вещественной оси $t\in R$ и интегрируемую на любом конечном промежутке. Пусть $f(t)$ удовлетворяет условиям:

1) $f(t)=0$ при $t 0$, $s\geqslant0$, что функция $f(t)$ при любом $t\in R$ удовлетворяет неравенству: $$ |f(t)|\leqslant Me^. $$

Функция $f(t)$, удовлетворяющая всем перечисленным выше условиям, называется функцией ограниченного роста, а число $s_0=\mbox\,s$ называется показателем роста.

Получили, что $\eta(t)\risingdotseq \displaystyle\frac<1>

$. В таблицах обычно записывают $1\risingdotseq \displaystyle\frac<1>

$, имея в виду, что на самом деле мы работаем не с $f(t)=1$, а с $f(t)=\eta(t)$.

Теорема о существовании изображения.

Пусть функция $f(t)$ является функцией ограниченного роста с показателем роста $s_0$. Тогда в правой полуплоскости $\mbox\,p>s_0$ существует изображение $F(p) = \int\limits_0^ <\infty>f(t)\,e^<-pt>dt$, причем $F(p)$ — аналитическая функция.

Свойства преобразования Лапласа

Функции действительного переменного $f(t)$, $g(t)$ являются оригиналами,
функции комплексного переменного $F(p)$, $G(p)$ являются изображениями: $ f(t)\risingdotseq F(p), \,\, g(t)\risingdotseq G(p).$

Свойство линейности

Пусть $\alpha$, $\beta \in \mathbb$. Тогда изображение линейной комбинации функций $f(t)$ и $g(t)$ является линейной комбинацией их изображений $F(p)$ и $G(p)$: \begin \alpha f(t)+\beta g(t) \risingdotseq \alpha F(p)+\beta G(p). \end

Источник

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа представляет собой интегральное уравнение, связывающее функцию действительной переменной времени и функцию комплексной переменной р:

Это уравнение называется прямым преобразованием Лапласа, в котором L является условным обозначением этого преобразования, называется оператором, — оригиналом, а — изображением.

Вместо (6.12) соответствие между функциями и может записываться и так:

Для того, чтобы можно было провести преобразование (6.12), функция при >0 должна за любой конечный промежуток времени иметь конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, а также иметь ограниченный порядок возрастания. То есть для данной функции можно указать такие положительные числа А и a, при которых

1. Активное сопротивление R.

Уравнение для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение и учитывая свойство линейности интегрального преобразования, получим операторное уравнение

Активное сопротивление R и соответствующее ему операторное сопротивление, как следует из (6.16), равны. Схемы, соответствующие уравнениям (6.15) и (6.16), представлены на рис. 6.4.

i(t) R I(p) R

u (t) U (p)

2. Индуктивный элемент L.

Уравнение индуктивности для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторные уравнения для индуктивности:

Выражениям (6.17) соответствуют операторная эквивалентная схема (рис. 6.5). Величина pL называется индуктивным операторным сопротивлением, — индуктивной операторной проводимостью. Начальное значение тока в индуктивности i_L(0) учитывается в виде дополнительного источника ЭДС E_L. При нулевых начальных условиях дополнительный источник в операторном уравнении (6.17) и соответственно на схеме замещения индуктивности отсутствует.

L I (p) pL

3. Емкостной элемент С.

Уравнение емкости для мгновенных значений имеет вид:

Преобразуя это уравнение

и учитывая соответствующее соотношение, приведенное в табл. 6.1, получим операторное уравнение для емкости:

На рис. 6.6 представлена схема, соответствующая уравнению (6.18) для мгновенных значений токов и напряжений и уравнениям (6.19) для операторных токов и напряжений. Величина называется емкостным операторным сопротивлением, рС – емкостной операторной проводимостью. Начальное значение напряжения учитывается, как видно из уравнений (6.19) и рис. 6.6, в виде дополнительного источника ЭДС .

С « I (p) 1/ pC

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник