Меню

Таблица логарифмов и логарифмической линейки

Таблица логарифмов и логарифмической линейки

Логарифмическая линейка

На уроках информатики, изучая тему «История вычислительной техники», упоминается устройство логарифмическая линейка. Что это такое? Как она выглядит? Как ей пользоваться? Рассмотрим историю создания данного устройства и принцип работы.

Логарифмическая линейка — это счетный прибор, применявшийся до появления калькуляторов и персональных компьютеров. Это было достаточно универсальное устройство, на котором можно было умножать, делить, возводить в квадрат и куб, вычислять квадратные и кубические корни, синусы, тангенсы и другие значения. Выполнялись эти математические операции с достаточно большой точностью — до 3–4 знаков после запятой.

История логарифмической линейки

В 1622 году Уильям Отред (William Oughtred 5 марта 1575—30 июня 1660) создает, пожалуй, один из самых успешных аналоговых вычислительных механизмов — логарифмическую линейку. Отред является одним из создателей современной математической символики — автор нескольких стандартных в современной математике обозначений и знаков операций:

  • Знак умножения — косой крестик: ×
  • Знак деления — косая черта: /
  • Символ параллельности: ||
  • Краткие обозначения функций sin и cos (раньше писали полностью: Sinus, Cosinus)
  • Термин «кубическое уравнение».

«Все его мысли были сосредоточены на математике, и он все время размышлял или чертил линии и фигуры на земле… Его дом был полон юных джентльменов, которые приезжали отовсюду, чтобы поучиться у него».

Неизвестный современник Отреда

Отред внёс решающий вклад в изобретение удобной для пользования логарифмической линейки тем, что предложил использовать две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой. Саму идею логарифмической шкалы ранее опубликовал валлиец Эдмунд Гюнтер, но для выполнения вычислений эту шкалу нужно было тщательно измерять двумя циркулями.

Логарифмическая шкала

Гюнтер ввел также общепринятое теперь обозначение log и термины косинус и котангенс. В 1620 году вышла книга Гюнтера, где дано описание его логарифмической шкалы, а также помещены таблицы логарифмов, синусов и котангенсов. Что же касается самого логарифма, то его изобрел, как известно, шотландец Джон Непер. Видя недоумение Форстера, высоко ценившего данное изобретение, Отред показал своему ученику два изготовленных им вычислительных инструмента — две логарифмические линейки.

Логарифмическая шкала Гюнтера являлась прародителем логарифмической линейки и подвергалась многократным доработкам. Так в 1624 году Эдмунд Уингейт издал книгу, в которой описал модификацию шкалы Гюнтера, позволяющую легко возводить числа в квадрат и в куб, а также извлекать квадратные и кубические корни.

Дальнейшие усовершенствования привели к созданию логарифмической линейки, однако, авторство этого изобретения оспаривают два ученых Уильям Отред и Ричард Деламейн.

Первая линейка Отреда имела две логарифмические шкалы, одна из которых могла смещаться относительно другой, неподвижной. Второй инструмент представлял собой кольцо, внутри которого вращался на оси круг. На круге (снаружи) и внутри кольца были изображены “свернутые в окружность” логарифмические шкалы. Обе линейки позволяли обходиться без циркулей.

Логарифическая линейка Отреда

В 1632 году в Лондоне вышла книга Отреда и Форстера “Круги пропорций” с описанием круговой логарифмической линейки (уже иной конструкции), а описание прямоугольной логарифмической линейки Отреда дано в книге Форстера “Дополнение к использованию инструмента, называемого “Кругами пропорций”, вышедшей в следующем году.

Линейка Ричарда Деламейна (который был в свое время ассистентом Отреда), описанная им в брошюре “Граммелогия, или Математическое кольцо”, появившейся в 1630 году, тоже представляла собой кольцо, внутри которого вращался круг. Потом эта брошюра с изменениями и дополнениями издавалась еще несколько раз. Деламейн описал несколько вариантов таких линеек (содержащих до 13 шкал). В специальном углублении Деламейн поместил плоский указатель, способный двигаться вдоль радиуса, что облегчало использование линейки. Предлагались и другие конструкции. Деламейн не только представил описания линеек, но и дал методику градуировки, предложил способы проверки точности и привел примеры использования своих устройств.

А в 1654 году англичанин Роберт Биссакер предложил конструкцию прямоугольной логарифмической линейки, общий вид которой сохранился до нашего времени…

В 1850 году девятнадцатилетний французский офицер Амедей Маннхейм создал прямоугольную логарифмическую линейку, ставшую прообразом современных линеек и обеспечивающую точность до трех десятичных знаков. Этот инструмент он описал в книге «Модифицированная вычислительная линейка», изданной в 1851 году. В течение 20-30 лет эта модель выпускалась только во Франции, а затем ее стали изготавливать в Англии, Германии и США. Вскоре линейка Маннхейма завоевала популярность во всем мире.

Логарифмическая линейка долгие годы оставалась самым массовым и доступным прибором индивидуального вычисления, несмотря на бурное развитие вычислительных машин. Естественно, она обладала небольшой точностью и скоростью решения по сравнению с вычислительными машинами, однако, на практике большинство исходных данных были не точные, а приближенные величины, определенные с той или иной степенью точности. А, как известно, результаты вычислений с приближенными числами будут всегда приближенные. Этот факт и высокая стоимость вычислительной техники позволили Логарифмической линейке просуществовать практически до конца 20 столетия.

Источник



Таблица логарифмов

Определения и таблица логарифмов

Логарифмом числа bпо основанию aназывается такое число c, при котором имеет место равенство b=a^<c data-lazy-src=

Натуральный логарифм \ln b— логарифм по основанию e:

\[\ln b=\log _<e data-lazy-src=

\[\lg b=\log _<10 data-lazy-src=

Задание С помощью таблицы натуральных логарифмов вычислить \ln 48
Решение В столбце «Десятки» находим 4, а в строке «Единицы» — 8. На пересечении указанных строки и столбца находится значение 3,8712; то есть

\[\ln 48=<\rm 3,8712 data-lazy-src=

\[\lg a=\frac<\ln a data-lazy-src=

Итак, десятичный логарифм числа aравен произведению натурального логарифма этого же числа и числа M=\lg e\approx 0,4342945. .

Источник

Определение логарифма, его свойства и график

Логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое.

Если число b в степени y равняется x:

Значит логарифм числа x по основанию b равен y:

Например:

  • Логарифм как обратная функция к показательной
  • Натуральный логарифм (ln)
  • Обратный логарифм
  • Таблица свойств логарифмов
  • Логарифмическая функция
  • График функции логарифма

Логарифм как обратная функция к показательной

Логарифмическая функция y = logb(x) является обратной функцией к показательной x=b y .

Так что, если мы вычислим показательную функцию логарифма х (х > 0) , получится:
f (f -1 (x)) = b log b (x) = x

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е.

Число e – это константа, которая может определяться как предел:

Число e через предел

Число e через предел

Обратный логарифм

Обратный логарифм (или антилогарифм) числа n – это число, логарифм которого по основанию a равен числу n.

Таблица свойств логарифмов

Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[<"row":9,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":10,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":11,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":12,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":15,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Свойство Формула Пример
Основное логарифмическое тождество
Логарифм произведения
Логарифм деления/частного
Логарифм степени
Логарифм числа по основанию в степени » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график
Логарифм корня » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график
Перестановка основания логарифма
Переход к новому основанию
Производная логарифма
Интеграл логарифма
Логарифм отрицательного числа
Логарифм числа, равного основанию
Логарифм бесконечности

Логарифмическая функция

Функция, которая определена формулой f(x)=loga(x) – это логарифмическая функция с основанием a. При этом a>0, a≠1.

График функции логарифма

График логарифмической функции (логарифмика) может быть двух типов, в зависимости от значения основания a:

График логарифма с основанием больше 1

  • a > 1
  • 0

Источник

Логарифмическая таблица

Логарифм таблица представляет собой табличное представление мантиссы от логарифмов . Более точная таблица журналов обычно занимает несколько страниц книги. Таблицы логарифмов на протяжении веков были важным помощником в арифметике , особенно в естественных и технических науках. Многие вычисления в школьной математике, например Б. выдергивание сложных корней могло осуществляться только с их помощью. Изобретение и широкое использование карманных калькуляторов и компьютеров сделало использование журнальных таблиц, подобных таблице логарифмических линейок , практически полностью излишним в течение нескольких лет.

Наиболее распространенными таблицами были десятичные логарифмы (с основанием 10 ) с разрешением от 1,00 до 9,99.

содержание

  • 1 рассказ
  • 2 использования
  • 3 структура
  • 4 Сгенерировать
  • 5 таблеток P.P.
  • 6 мелочей
  • 7 известных проблем
  • 8 веб-ссылок
  • 9 индивидуальных доказательств

история

Историю логарифмов см. В основной статье Логарифм: История .

В своей работе Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Джон Нэпьер первым опубликовал логарифмическую таблицу в 1614 году и считается ее изобретателем. Сначала его интересовало более простое и точное использование тригонометрических таблиц, используемых в то время. В приложении « Constructio» Нэпьер рассматривал возможность занять прочную базу, что вскоре и сделал его друг Бриггс.

Йост Бюрги участвовал в введении и развитии десятичных чисел, которые были необходимы для практической арифметики, и вычислил первую таблицу логарифмов 1603-11 независимо от Напьера. Кеплер несколько раз уговаривал его опубликовать его, но , по словам Нэпьера, этого не произошло до 1620 г., когда был введен Табул арифметики и геометрического прогресса . Как сотрудник Иоганна Кеплера, он использовал таблицы логарифмов, созданные для астрономических расчетов. Эти таблицы были чисто числовыми. Bürgi уже удалось избежать систематических ошибок, вычислив точки поворота независимо.

Генри Бриггс ввел 10 в качестве единой основы в 1624 году . Он больше не мог сам заполнять свою таблицу — здесь логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 были перечислены с 14 цифрами. Он был полностью опубликован голландскими издателями Адрианом Влакком и Эзехиэлем де Декером в 1627/28 году в Нидерландах. Таблицы Vlacq содержали относительно небольшие 603 ошибки. Они полностью вытеснили таблички Нэпьера и не оставили интереса к логарифму Кеплера Chilias logarithmorum 1624 года.

Таблицы были рассчитаны с использованием возведения в степень. Только после изобретения исчисления бесконечно малых стало доступно для вычислений все больше и больше сходящихся рядов.

У Николая Меркатора была возможность использовать ряд (1668 для ln (1 + x) ) для расчета, тем не менее, потребовалось более 100 лет, пока Юрий Вега опубликовал свой Thesaurus logarithmourum completetus почти без ошибок в 1783 году , который был самым известным таблицы и почти для всех нижних цифр легли в основу. Карл Бремикер усовершенствовал Vega-Bremiker ( Вега-Бремикер ).

использовать

Таблицы логарифмов позволяют свести умножение и деление чисел к более простому сложению и вычитанию . До появления механических или электрических вычислительных машин журнальные таблицы значительно упрощали арифметику. Так были логарифмы в школе , между прочим в школе математики и физики или незаменимого компаньона.

а

Произведение двух чисел и происходит по закону логарифмов а <\ displaystyle a> б <\ displaystyle b>

 \ log_x (a \ cdot b) = \ log_x a + \ log_x b

бревно Икс ⁡ ( а ⋅ б ) знак равно бревно Икс ⁡ а + бревно Икс ⁡ б <\ displaystyle \ log _ (a \ cdot b) = \ log _ a + \ log _ b>

вычисляется путем поиска логарифма основного числа и логарифма основного числа в таблице. Формируется сумма двух логарифмов и производится поиск в таблице. Число, полученное из этой суммы в виде логарифма, тогда является произведением и . а <\ displaystyle a> аИкс <\ displaystyle x> Иксб <\ displaystyle b> бИкс <\ displaystyle x> Икса <\ displaystyle a> аб <\ displaystyle b> б

С помощью таблицы логарифмов арифметические операции можно проследить до следующей более простой операции: от умножения до сложения, от деления до вычитания, возведения в степень до умножения и квадратного корня (извлечения корней) до деления. Эти доходы основаны на следующих логарифмических законах:

бревно Икс ⁡ ( а ⋅ б ) знак равно бревно Икс ⁡ а + бревно Икс ⁡ б ; а , б ∈ Р. + бревно Икс ⁡ ( а б ) знак равно бревно Икс ⁡ а — бревно Икс ⁡ б ; а , б ∈ Р. + бревно Икс ⁡ ( а б ) знак равно б ⋅ бревно Икс ⁡ а ; а ∈ Р. + , б ∈ Р. бревно Икс ⁡ а б знак равно 1 б ⋅ бревно Икс ⁡ а ; а ∈ Р. + , б ∈ Р. ∖ < 0 > <\ displaystyle <\ begin \ log _ (a \ cdot b) & = \ log _ a + \ log _ b; && a, b \ in \ mathbb ^ <+>\\\ log _ \ left ( <\ frac > \ right) & = \ log _ a- \ log _ b; && a, b \ in \ mathbb ^ <+>\\\ log _ (a ^ ) & = b \ cdot \ log _ a; && a \ in \ mathbb ^ < +>, \ b \ in \ mathbb \\\ log _ <\ sqrt [] > & = <\ frac <1>> \ cdot \ log _ < x>a; && a \ in \ mathbb ^ <+>, \ b \ in \ mathbb \ setminus \ <0 \>\ end >> <\ displaystyle <\ begin <align data-lazy-src=

Икс знак равно бревно б ⁡ а <\ Displaystyle х = \ журнал _ а>

Выдержка из десятичного (основание 10) логарифма, числа (числового значения ) слева и выше, мантиссы (то есть десятичных знаков ) справа для пятизначных логарифмов. Знаки после запятой разделены на группы по двоек и троек, последние три цифры справа. В других таблицах, таких как здесь, например, 82 не повторяется, а записывается в столбце только один раз, и только когда оно увеличивается до 83, записывается ниже в столбце: б <\ displaystyle b> ба <\ displaystyle a> аИкс <\ displaystyle x> Икс

N 1 2 3 4-й 5 6-е 7-е 8-е 9
661 0,82020 027 033 040 046 053 060 066 073 079
662 0,82086 092 099 105 112 119 125 132 138 145
ПП 6-е 7-е
1 0,6 0,7
2 1.2 1.4
3 1,8 2.1
4-й 2.4 2,8
5 3.0 3.5
6-е 3,6 4.2
7-е 4.2 4.9
8-е 4.8 5,6
9 5,4 6.3

Если вы хотите определить интерполированную мантиссу для числа 66108, вам нужно добавить в восемь раз десятую часть разницы в таблице 7 (горизонтальная разница между значениями таблицы), то есть 5,6 или 0,000056, и тогда будет округлено m = 4,82026. .

Если вы хотите добавить еще одну цифру, вы берете часть разницы таблицы, деленную на 100 вместо 10. Округлять следует только последнюю цифру. Для шестизначного числа N = 6613,78 на первом шаге 4,2 на втором 0,48, а затем получает пятизначное число m = 82040 + 4,2 + 0,48 = 82045, т.е. 3,82045.

Если у вас есть четырехзначное число M = 82116 (3,82116) между M = 82112 и M = 82119, N должно быть между N = 6624 и N = 6625. Разница в таблице составляет 7, дополнительные 4 мантиссы, скорее всего, будут найдены в таблице, поэтому при 3,5 число равно 6624,5, если округлить 4,2, это будет 6624,6. 3,5 можно снова увеличить на 0,49, что означает 0,07 в таблице, поэтому число N, наконец, равно 6624 + 0,5 + 0,07 = 6624,57, которое округляется до 6624,6. Как делать математику с помощью калькулятора.

Как вы можете видеть, таблицы даны для различий 7 и 6, поскольку обе они указаны в таблице, от 027 до 033 — шесть, затем снова семь, от 033 до 040.

Мелочи

Бревенчатые таблицы сыграли роль в открытии закона Бенфорда (фактически Саймоном Ньюкомом ). Сторона с первой цифрой нужна чаще, чем другие цифры, и поэтому изнашивается быстрее.

Известные вопросы

  • Вега-Бремикер , семизначные логарифмы и тригонометрические функции, с 1795 г.
  • Вильгельм Джордан (геодезист) , логарифмы и вспомогательные таблицы
  • Ф.Г. Гаусс : Пятизначные полные логарифмические и тригонометрические таблицы . (Более 100 изданий с 1870 г.).

веб ссылки

Викисловарь: Таблица логарифмов — объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

Источник

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы,таблицы логарифмов чисел; используются для упрощения вычислений. Самый распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10kN (при k целом) различаются лишь чертями и имеют однообразные мантиссы (lg10kN = k + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся лишь мантиссы логарифмов целых чисел.

Для отыскания чёрта помогают правила: 1) черта числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) черта десятичной дроби, меньшей 1, равна забранному со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, хорошей от нуля (так, lg 0,0002 = — 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы хорошей отрицательной характеристики и мантиссы).

Логарифмические таблицы

Существуют таблицы десятичных логарифмов с разным числом знаков мантисс. Самый распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Время от времени употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях — таблицы, разрешающие без громадного труда вычислять логарифмы с солидным числом знаков.

В Л. т. довольно часто приводятся таблицы антилогарифмов — чисел, логарифмы которых сущность эти числа, и таблицы так называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы либо разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Не считая логарифмов чисел, Л. т. содержат в большинстве случаев логарифмы тригонометрических размеров.

Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейцарским математиком И. Бюрги. Таблицы Непера Описание необычной таблицы логарифмов (1614) и Устройство необычной таблицы логарифмов (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, тангенсов и косинусов для углов от 0° до 90°, следующих через одну 60 секунд.

Т. к. синус 90° тогда принимали равным 107, а на него довольно часто приходилось умножать, то Непер выяснил собственные Л. так, что логарифм 107 был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 107, у него хороши. Непер не ввёл понятия об основании совокупности логарифмов.

Его логарифм числа N в современных обозначениях примерно равен . Свойства логарифмов Непера пара сложнее простых, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.

Арифметические и геометрические таблицы прогрессий (1620) Бюрги являются первую таблицу антилогарифмов (тёмные числа) и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам (красным числам). Красные числа Бюрги сущность логарифмы поделенных на 108 тёмных чисел при основании, равном . Таблицы Бюрги и особенно Непера срочно привлекли интерес математиков к вычислению и теории логарифмов. По совету Непера британский математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и после этого 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы время от времени именуют бриговыми).

10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в базу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли большое количество трансформаций в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 неточности, у австрийского математика Г. Вега в 1783 — пять; первые точные таблицы выпустил в 1857 германский математик К. Бремикер). В Российской Федерации таблицы логарифмов в первый раз были изданы в 1703 при участии Л. Ф. Магницкого.

Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были размещены в 1802 итальянским математиком З. Леонелли; К. Ф. Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в неспециализированное потребление.

Лит.: Брадис В. М., Четырехзначные математические таблицы, М. — Л., 1928, посл., 44 изд., М., 1973; Милн-Томсон Л.-М., Комри Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических размеров, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; Вега Г., Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М. — Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел…, М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1—2, М., 1971.

Две случайные статьи:

Десятичные и натуральные логарифмы ➽ Алгебра 10 — 11 класс

Похожие статьи, которые вам понравятся:

Логарифмическая бумага,особым образом разграфленная бумага; в большинстве случаев изготовляется типографским методом. Она строится следующим образом…

Логарифм числа N по основанию а, показатель степени m, в которую направляться возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN….

Логарифмическая функция,функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается y = lnx; (1) её значение y, соответствующее значению довода х,…

Логарифмическая линейка,счётная линейка, инструмент для несложных вычислений, благодаря которому операции над числами (умножение, деление, возведение в…

Источник

Читайте также:  Таблица лиги сантандер 2020

Таблицы © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер.

Adblock
detector