Меню

Таблица интегралов муавра лапласа

Таблица интегралов муавра лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Значения функции находятся в таблице для функции ф (х).

Важно помнить, что функция ф (х) четная

=> ф (-х) = ф (х).

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Для нахождения значений используют таблицу функции Лапласа для х:

0 , если же х>5, то автоматически Ф(х) = 0,5.

Функции Лапласа нечетная, т.е. Ф (-х) = — Ф(х).

Задача 1. Найдите вероятность того, что число зачисленных абитуриентов в институт психологии равно 86 из 250, подавших заявления. если вероятность зачисления для каждого абитуриента равна 0,35.

Решение

По условию задачи: р = 0.35; q = 0,65; n = 250;k = 86. В связи с тем, что n = 250 достаточно большое число, то целесообразней воспользоваться локальной теоремой Лапласа:

По таблице № 1 значений функции Лапласа найдем значение при х = 0,2, т.е. ф (х) = 0,391.

Тогда вероятность зачисления 86 абитуриентов в институт психологии равна

Ответ: 0,052.

Задача 2. Известно, что вероятность появления в семье мальчика равна 40 %. Сколько семей необходимо опросить, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в этих семьях родились мальчики, если всего в опросе участвовало 150 детей?

Решение

По условию задачи: n = 150; р = 0,4; q = 0,6.

Тогда, пусть было опрошено а– семей. Чтобы найти неизвестное а, при условии, что n p q > 10, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

В результате, получаем неравенство:

Из таблицы № 2 для функции Лапласа получаем соответствующие значения, при Ф(х) > 0,25, то х > 0,67. Тогда неравенство принимает вид:

Следовательно, необходимо будет опросить 62 семьи, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в каждой из них ребенок – мальчик.

Ответ: 62.

Задача 3. Вероятность встретить на улице в солнечный день человека с зонтом равна 0,01. Чему равна вероятность того, что из 1 000 встречных мимо вас пройдет не более 4 человек с зонтами.

Решение

Так как события А; А1234 несовместны, то соответственно вероятность события. А есть:

Ответ: 0,777.

Пользоваться таблицей несложно: вначале смотрим на столбец, а потом на строку, например, Ф(0,22) = 0,3894; Ф(2,99) = 0,0046.

Таблица значений локальной функции Лапласа (таб. № 1)

Таблица значений интегральной функции Лапласа (таб. № 2)

Источник



Применение локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа

  • Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
    • Локальная теорема Лапласа
    • Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
  • Таблица значений для вычисления определителей
  • Пример решения задачи

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

В том случае, когда количество манипуляций достаточно большое, применять формулу Бернулли становится нецелесообразно. Упростить решение задачи или доказательство выражения можно с помощью локальной и интегральной теорем Лапласа. Данные закономерности позволяют получить результат испытаний, приближенный к итогам вычислений по формуле Бернулли, и характеризуются меньшими расчетами.

Рассматриваемые теоремы активно применяют в решении задач по данным большого количества экспериментов для нахождения приближенного значения вероятности. С помощью локальной теоремы можно вычислить определенное число явлений. Благодаря интегральной теореме Муавра-Лапласа, достаточно просто найти ответ при заданном диапазоне вероятного количества возникновения событий.

Читайте также:  Таблица предела упругости стали

Локальная теорема Лапласа

В том случае, когда вероятность p возникновения явления A характеризуется постоянством, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , то вероятность \(P_n ( k )\) того, что событие A возникнет k раз в n экспериментах, равна приближенно (увеличивая n, получаем более точный результат испытаний и меньше погрешность) значению функции \(y=\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \frac < 1 > < \sqrt < 2\pi >> \cdot e^ < - < x^2 >/ 2 > =\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Из выражения можно сделать вывод:

\(label < eq2 >P_n ( k )\approx \frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)

Следует отметить, что функция \(\varphi ( x )=\varphi ( < -x >)\) является четной.

Свойства представленной функции:

  • функция является четной;
  • если аргумент обладает значением больше, чем 4, то функция будет сколь угодно мала.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P, что возникнет событие A, для каждого эксперимента по порядку обладает стабильным значением, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , тогда вероятность \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\) того, что явление A наступит от \(k_ < 1 >\) до \(k_ < 2 >\) раз в n опытах, равна \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\approx \frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int\limits_ < x_1 >^ < x_2 > < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz > =\Phi ( < x_2 >)-\Phi ( < x_1 >)\)

Следует отметить, что \(\Phi ( x )=\frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz >\) можно определить с помощью специальных табличных схем.

\(\Phi ( < -x >)=-\Phi ( x )\) является нечетной функцией.

Рассматриваемая функция обладает следующими основными свойствами:

  • функция является нечетной;
  • если аргумент больше, чем 5, то значение функции составляет 0,5.

Таблица значений для вычисления определителей

В случае применения локальной теории Лапласа целесообразно использовать специальные таблицы:

Таблица значений для вычисления

Таблица значений для вычисления определителей

Таблица значений для вычисления определителей 2

Таблица значений для вычисления определителей 3

Таблица значений интегральной функции Лапласа имеет следующий вид:

Таблица значений интегральной функции Лапласа имеет следующий вид

Таблица 1

Таблица 2

Применительно к вероятностям распределения Пуассона сформирована таблица:

t-v-4-0-7.jpg

t-v-4-0-8.jpg

t-v-4-0-9.jpg

t-v-4-0-10.jpg

Пример решения задачи

Требуется определить, какова вероятность возникновения события А в течение 80 раз во время проведения 400 опытов. Следует учитывать вероятность появления данного события в каждом эксперименте составляет \( р = 0,2.\)

В том случае, когда р = 0,2: q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность равна 0,0498

По условиям задания, в процессе контроля качества выявляют 10% брака от произведенных изделий. Для этой процедуры выбирают 625 изделий. Необходимо определить вероятность того, что в объеме отобранных изделий имеется не меньше 550 и не больше 575 качественных экземпляров.

В том случае, когда брак составляет 10% от изделий, то качественные экземпляры должны определяться, как 90%. При таком условии:

\(n=625, \ p=0,9, \ q=0,1, \ k_1 =550,\ k_2 =575\)

\(n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5\)

Исходя из полученного выражения, определим:

Источник

Вычисление функции Лапласа в Microsoft Excel

Функция Лапласа в Microsoft Excel

Одной из самых известных неэлементарных функций, которая применяется в математике, в теории дифференциальных уравнений, в статистике и в теории вероятностей является функция Лапласа. Решение задач с ней требует существенной подготовки. Давайте выясним, как можно с помощью инструментов Excel произвести вычисление данного показателя.

Читайте также:  Рейтинг теннисистов вся таблица

Функция Лапласа

Функция Лапласа имеет широкое прикладное и теоретическое применение. Например, она довольно часто используется для решения дифференциальных уравнений. У этого термина существует ещё одно равнозначное название – интеграл вероятности. В некоторых случаях основой для решения является построение таблицы значений.

Оператор НОРМ.СТ.РАСП

В Экселе указанная задача решается с помощью оператора НОРМ.СТ.РАСП. Его название является сокращением от термина «нормальное стандартное распределение». Так как его главной задачей является возврат в выделенную ячейку стандартного нормального интегрального распределения. Данный оператор относится к статистической категории стандартных функций Excel.

В Excel 2007 и в более ранних версиях программы этот оператор назывался НОРМСТРАСП. Он в целях совместимости оставлен и в современных версиях приложений. Но все-таки в них рекомендуется использование более продвинутого аналога – НОРМ.СТ.РАСП.

Синтаксис оператора НОРМ.СТ.РАСП выглядит следующим образом:

Устаревший оператор НОРМСТРАСП записывается так:

Как видим, в новом варианте к существующему аргументу «Z» добавлен аргумент «Интегральная». Нужно заметить, что каждый аргумент является обязательным.

Аргумент «Z» указывает числовое значение, для которого производится построение распределения.

Аргумент «Интегральная» представляет собой логическое значение, которое может иметь представление «ИСТИНА» («1») или «ЛОЖЬ» («0»). В первом случае в указанную ячейку возвращается интегральная функция распределения, а во втором – весовая функция распределения.

Решение задачи

Для того чтобы выполнить требуемое вычисление для переменной применяется следующая формула:

Теперь давайте на конкретном примере рассмотрим использование оператора НОРМ.СТ.РАСП для решения конкретной задачи.

    Выделяем ячейку, куда будет выводиться готовый результат и щелкаем по значку «Вставить функцию», расположенному около строки формул.

Переход в Мастер функций в Microsoft Excel

После открытия Мастера функций переходим в категорию «Статистические» или «Полный алфавитный перечень». Выделяем наименование «НОРМ.СТ.РАСП» и жмем на кнопку «OK».

Переход в окно аргументов функции НОРМ.СТ.РАСП в Microsoft Excel

Происходит активация окна аргументов оператора НОРМ.СТ.РАСП. В поле «Z» вводим переменную, к которой нужно произвести расчет. Также этот аргумент может быть представлен в виде ссылки на ячейку, которая содержит эту переменную. В поле «Интегральная» вводим значение «1». Это означает, что оператор после вычисления вернет в качестве решения интегральную функцию распределения. После того, как выполнены вышеперечисленные действия, жмем на кнопку «OK».

Окно аргументов функции НОРМ.СТ.РАСП в Microsoft Excel

После этого результат обработки данных оператором НОРМ.СТ.РАСП будет выведен в ячейку, которая указана в первом пункте данного руководства.

Результат вычисления функции НОРМ.СТ.РАСП в Microsoft Excel

Но и это ещё не все. Мы вычислили только стандартное нормальное интегральное распределение. Для того, чтобы посчитать значение функции Лапласа, нужно от него отнять число 0,5. Выделяем ячейку, содержащую выражение. В строке формул после оператора НОРМ.СТ.РАСП дописываем значение: -0,5.

Формула вычисления функции Лапласа в Microsoft Excel

  • Для того, чтобы произвести вычисление, жмем на кнопку Enter. Полученный результат и будет искомым значением.
  • Результат вычисления функции Лапласа в Microsoft Excel

    Как видим, вычислить функцию Лапласа для конкретного заданного числового значения в программе Excel не составляет особенного труда. Для этих целей применяется стандартный оператор НОРМ.СТ.РАСП.

    ЗакрытьМы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

    Читайте также:  Таблица dpi про игроков

    Помимо этой статьи, на сайте еще 12004 инструкций.
    Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

    Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

    ЗакрытьОпишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

    Источник

    23. Функция Лапласа

    Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

    Обозначим

    Тогда

    Т. к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

    ,

    Которая называется Функцией Лапласа Или Интегралом вероятностей.

    Значения этой функции при различных значениях Х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

    Ниже показан график функции Лапласа.

    Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

    2) Ф(-Х) = — Ф(Х);

    Функцию Лапласа также называют Функцией ошибок и обозначают erf X.

    Еще используется Нормированная Функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

    Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

    При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как Правило трех сигм.

    Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

    Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

    Т. е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

    Это правило называется Правилом трех сигм.

    Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

    Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание А = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

    Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

    Т. к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

    Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – А =2 – Математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

    Плотность распределения имеет вид:

    Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

    Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

    Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

    Источник

    Adblock
    detector