Меню

Таблица интеграла муавра лапласа

Таблица интеграла муавра лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Значения функции находятся в таблице для функции ф (х).

Важно помнить, что функция ф (х) четная

=> ф (-х) = ф (х).

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Для нахождения значений используют таблицу функции Лапласа для х:

0 , если же х>5, то автоматически Ф(х) = 0,5.

Функции Лапласа нечетная, т.е. Ф (-х) = — Ф(х).

Задача 1. Найдите вероятность того, что число зачисленных абитуриентов в институт психологии равно 86 из 250, подавших заявления. если вероятность зачисления для каждого абитуриента равна 0,35.

Решение

По условию задачи: р = 0.35; q = 0,65; n = 250;k = 86. В связи с тем, что n = 250 достаточно большое число, то целесообразней воспользоваться локальной теоремой Лапласа:

По таблице № 1 значений функции Лапласа найдем значение при х = 0,2, т.е. ф (х) = 0,391.

Тогда вероятность зачисления 86 абитуриентов в институт психологии равна

Ответ: 0,052.

Задача 2. Известно, что вероятность появления в семье мальчика равна 40 %. Сколько семей необходимо опросить, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в этих семьях родились мальчики, если всего в опросе участвовало 150 детей?

Решение

По условию задачи: n = 150; р = 0,4; q = 0,6.

Тогда, пусть было опрошено а– семей. Чтобы найти неизвестное а, при условии, что n p q > 10, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

В результате, получаем неравенство:

Из таблицы № 2 для функции Лапласа получаем соответствующие значения, при Ф(х) > 0,25, то х > 0,67. Тогда неравенство принимает вид:

Следовательно, необходимо будет опросить 62 семьи, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в каждой из них ребенок – мальчик.

Ответ: 62.

Задача 3. Вероятность встретить на улице в солнечный день человека с зонтом равна 0,01. Чему равна вероятность того, что из 1 000 встречных мимо вас пройдет не более 4 человек с зонтами.

Решение

Так как события А; А1234 несовместны, то соответственно вероятность события. А есть:

Ответ: 0,777.

Пользоваться таблицей несложно: вначале смотрим на столбец, а потом на строку, например, Ф(0,22) = 0,3894; Ф(2,99) = 0,0046.

Таблица значений локальной функции Лапласа (таб. № 1)

Таблица значений интегральной функции Лапласа (таб. № 2)

Источник



Применение локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа

  • Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
    • Локальная теорема Лапласа
    • Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
  • Таблица значений для вычисления определителей
  • Пример решения задачи

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

В том случае, когда количество манипуляций достаточно большое, применять формулу Бернулли становится нецелесообразно. Упростить решение задачи или доказательство выражения можно с помощью локальной и интегральной теорем Лапласа. Данные закономерности позволяют получить результат испытаний, приближенный к итогам вычислений по формуле Бернулли, и характеризуются меньшими расчетами.

Читайте также:  Таблица закон римской империи

Рассматриваемые теоремы активно применяют в решении задач по данным большого количества экспериментов для нахождения приближенного значения вероятности. С помощью локальной теоремы можно вычислить определенное число явлений. Благодаря интегральной теореме Муавра-Лапласа, достаточно просто найти ответ при заданном диапазоне вероятного количества возникновения событий.

Локальная теорема Лапласа

В том случае, когда вероятность p возникновения явления A характеризуется постоянством, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , то вероятность \(P_n ( k )\) того, что событие A возникнет k раз в n экспериментах, равна приближенно (увеличивая n, получаем более точный результат испытаний и меньше погрешность) значению функции \(y=\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \frac < 1 > < \sqrt < 2\pi >> \cdot e^ < - < x^2 >/ 2 > =\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Из выражения можно сделать вывод:

\(label < eq2 >P_n ( k )\approx \frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)

Следует отметить, что функция \(\varphi ( x )=\varphi ( < -x >)\) является четной.

Свойства представленной функции:

  • функция является четной;
  • если аргумент обладает значением больше, чем 4, то функция будет сколь угодно мала.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P, что возникнет событие A, для каждого эксперимента по порядку обладает стабильным значением, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , тогда вероятность \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\) того, что явление A наступит от \(k_ < 1 >\) до \(k_ < 2 >\) раз в n опытах, равна \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\approx \frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int\limits_ < x_1 >^ < x_2 > < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz > =\Phi ( < x_2 >)-\Phi ( < x_1 >)\)

Следует отметить, что \(\Phi ( x )=\frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz >\) можно определить с помощью специальных табличных схем.

\(\Phi ( < -x >)=-\Phi ( x )\) является нечетной функцией.

Рассматриваемая функция обладает следующими основными свойствами:

  • функция является нечетной;
  • если аргумент больше, чем 5, то значение функции составляет 0,5.

Таблица значений для вычисления определителей

В случае применения локальной теории Лапласа целесообразно использовать специальные таблицы:

Таблица значений для вычисления

Таблица значений для вычисления определителей

Таблица значений для вычисления определителей 2

Таблица значений для вычисления определителей 3

Таблица значений интегральной функции Лапласа имеет следующий вид:

Таблица значений интегральной функции Лапласа имеет следующий вид

Таблица 1

Таблица 2

Применительно к вероятностям распределения Пуассона сформирована таблица:

t-v-4-0-7.jpg

t-v-4-0-8.jpg

t-v-4-0-9.jpg

t-v-4-0-10.jpg

Пример решения задачи

Требуется определить, какова вероятность возникновения события А в течение 80 раз во время проведения 400 опытов. Следует учитывать вероятность появления данного события в каждом эксперименте составляет \( р = 0,2.\)

В том случае, когда р = 0,2: q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность равна 0,0498

По условиям задания, в процессе контроля качества выявляют 10% брака от произведенных изделий. Для этой процедуры выбирают 625 изделий. Необходимо определить вероятность того, что в объеме отобранных изделий имеется не меньше 550 и не больше 575 качественных экземпляров.

Читайте также:  Таблица для барометра анероида

В том случае, когда брак составляет 10% от изделий, то качественные экземпляры должны определяться, как 90%. При таком условии:

\(n=625, \ p=0,9, \ q=0,1, \ k_1 =550,\ k_2 =575\)

\(n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5\)

Исходя из полученного выражения, определим:

Источник

23. Функция Лапласа

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда

Т. к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

,

Которая называется Функцией Лапласа Или Интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях Х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

2) Ф(-Х) = — Ф(Х);

Функцию Лапласа также называют Функцией ошибок и обозначают erf X.

Еще используется Нормированная Функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как Правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т. е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется Правилом трех сигм.

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание А = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т. к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – А =2 – Математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения имеет вид:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

Источник

Интегральная теорема Лапласа

date image2015-06-10
views image2205

Читайте также:  Проанализируйте таблицу заполните пустые ячейки таблицы используя понятия

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Вновь предположим, что производится писпытаний, в каждом из которых вероятность появления события Апостоянна и равна р(0 5 можно принять Ф (х) = 0,5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k1 до k2 раз, вычисляется по формуле:

Пример 4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, р=0,2; q=0,8; n=400; k1=70; k2=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, имеем

Р400(70, 100) = Ф(2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

По таблице приложения 2 находим:

Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25)=0,3944.

Искомая вероятность равна:

Р400 (70, 100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Задачи

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент:

а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

3. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.

4. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

5. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:

а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р=0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях (k≥1) равна 1-q k . Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела.

Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.

7. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Отв. Р400 (104) = 0,0006.

8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Отв. а) Р100(70,80) = 2Ф(1,15) = 0,7498;

б) Р100(0; 70)= – Ф (1,15) + 0,5 = 0,1251.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Таблица значений локальной функции Лапласа

[1] Функцию φ(х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если

Источник

Adblock
detector