Меню

Связь физики с математикой таблица



Методика обучения физике в средней школе

Связь обучения физике с другими учебными предметами

Лекция 4. Связь обучения физике с другими учебными предметами

Литература 4, с. 58-69; 16, с. 104-118; 28.

1. В современной системе наук четко наметился процесс взаимного проникновения и связи между науками. Это полностью объективный процесс, который обусловлен единством окружающего мира. Развиваясь, каждая наука не только углубляет свои знания о природе, но и расширяет границы своих исследований. Вследствие этого происходит взаимное проникновение наук и возникновения межевых, гибридных наук — биофизики, физической химии, физической географии и т.п.

Объективный процесс связи между науками находит отображение и в процессе обучения физике в школе. Этого требует не только принцип научности, но и те задания, которые ставятся перед школьным курсом физики. В частности, формирование диалектико-материалистического мировоззрения невозможно без установления и выявления связи с другими естественными учебными предметами.

Межпредметные связи — это дидактическая категория, которая отображается во взаимосвязанном и взаимообусловленном изучении учебных предметов в школе.

  • согласованное во времени изучение разных учебных дисциплин с целью их взаимной поддержки; — обоснованную последовательность в формировании понятий;
  • единство требований к знаниям, умениям и навыкам;
  • использование при изучении физики знаний, полученных при изучении других предметов;
  • ликвидацию неоправданного дублирования в содержании учебных предметов;
  • показ общности методов, которые применяются в разных дисциплинах (генерализация знаний);
  • раскрытие взаимосвязи природных явлений, показ единства мира;
  • подготовку учеников к овладению современными технологиями.

Хронологические связи обеспечивают согласованное преподавание предметов во времени в соответствии с потребностями каждого учебного предмета.

Информационные связи проявляются в единстве трактовки понятий, фактов положений, которые рассматриваются при изучении разных предметов.

Пути осуществление межпредметных связей:

  • использование знаний, полученных при изучении других дисциплин;
  • выполнение комплексных экспериментальных работ;
  • проведение комплексных экскурсий;
  • обобщающее повторение.

Изучение физики в 7 классе, базируется на предыдущих связях с математикой. Учитель опирается на те знания, какие ученики получили при изучении математики в 6 классе, и на знания, какие они получают в 7 классе на уроках математики. Здесь нужно помнить, что ученики 7 класса уже знакомы с буквенными обозначениями, умеют записывать формулы, знакомы с отрицательными числами и координатной плоскостью. Они умеют выполнять действия над целыми и дробными числами, измерять величины, округлять числа, и находить среднее арифметическое, решать линейные уравнения. В течение года математическая подготовка учеников дополняется знаниями об уравнении с двумя неизвестными, они усваивают понятие функции и ее графическое представление.

В восьмом классе ученики усваивают понятие степени с отрицательным показателем, построение графика трехчлена за точками, приближенные вычисления.

Для изучения физики в 9 классе ученики получают знания об уравнении второй степени и векторах и действиях над ними.

Указанного математического аппарата ученикам хватает для изучения физики до 11 класса, где при изучении электромагнитных колебаний они и используют знание о производной и интеграл, полученные на уроках математики.

На фоне перечисленных знаний и умений учеников стабильно проявляются некоторые недостатки. В частности, ученики имеют слабые навыки приближенных вычислений. При развязывании задач мешает привычка помечать неизвестную величину через х (икс).

Часто наблюдаются неоднозначные трактовки и употребления таких понятий: величина — значение,

значение — числовое значение, размер — значение величины и т.п.

При пользовании формулами, которые устанавливают математическую связь между физическими величинами, ученики не различают функциональные зависимости и способ вычисления. Если из формулы выплывает, что сила пропорциональна заряду и напряженности электрического поля, то из родственной формулы подобный вывод сделать нельзя. Ведь физически напряженность исследуемого поля никоим образом не зависит от значения пробного электрического заряда. Подобное можно сказать о таких зависимостях:

Достаточно сложно усваивают ученики действия над наименованиями.

3. Объекты изучения физики и химии достаточно близкие. Но структуры курсов существенно отличаются. Поэтому связи имеют в основном понятийный характер. Хронологические связи очень затруднены.

Физика и химия изучают много общих понятий: атом, электрон, молекула, электролитическая диссоциация, масса, количество вещества. Нужно достичь общей, одинаковой трактовки этих величин и их применения.

4. Соотношение между физикой и биологией можно трактовать как отношение общего и частичного. Знания из биологии могут лишь расширять знание о рамках действия физических законов и способствовать пониманию учениками единства природы. Этому же способствует рассмотрение вопросов, связанных с использованием методов физики в биологии.

  • Физика в живых организмах.
    При изучении разных тем на уроках физики приводятся примеры, которые показывают роль физических процессов в протекании биологических процессов.
  • Бионика.
    Много принципов, реализованных в живых организмах широко используются в современных технических устройствах, основой которых является физика.
  • Экология.
    Физические законы имеют отношение к процессам, которые происходят в природе в связи с производственной деятельностью человека. И для ликвидации негативных влияний такой деятельности, для охраны природы нужно использовать знание законов физики.

5. Физика как наука, развивалась в конкретных исторических общественных условиях, которые отображены в гуманитарных науках. Изучение физики с ссылкой на исторические обстоятельства улучшает восприятие учебного материала. Так, конкретнее звучит материал, связанный с исследованиями Дж.Бруно, Г.Галилея, И.Ньютона и т.п., если одновременно вспоминаются тогдашние общественно-политические условия, хронология, связь с другими событиями. Позитивные результаты дает также использование физических задач с историческим содержанием, исторических картин, фотографий и т.п.

Значительно облегчает восприятие учебного материала использования художественных текстов из литературных произведений.

Фактически тяжело найти хотя бы один учебный предмет, который бы не влиял на процесс изучения физики. Использование такого влияния, учет взаимной связи и активное включение его, в работу позволяет существенно улучшить учебный процесс из физики.

Источник

Реализация межпредметных связей (физика + математика). Трудности и перспективы их решения

Математика и физика обычно считаются наиболее трудными предметами школьного курса. Во все периоды человеческого сознания эти направления научной мысли развивались взаимосвязано, стимулируя обоюдный прогресс. Широко распространено мнение, что в школьном преподавании интеграция физики с математикой возможна только в классах с углубленным изучением этих предметов. Мы, однако, считаем, что очень многие элементы интеграции могут сделать изложение физики более ясным и доступным на всех уровнях её изучения. Общение со школьниками показывает, что непонимание ими какого-либо вопроса из курса физики часто связаны с отсутствием навыков анализа функциональных зависимостей, составление и решения математических уравнений, неумением проводить алгебраические преобразования и геометрические построения.

Школьная математика практически везде, к сожалению, совершенно оторвана от потребностей физики – как по выбору материала, так и по его трактовкам, постановке задач и развитию навыков.

Невнимание к физике причиняет урон и самой математике, затрудняется ее понимание, притупляется интерес к ней, принижается роль математики как фундаментальной науки. Не используемый в физике математический аппарат плохо держится в памяти.. Современное преподавание требует органического сочетания экспериментального и теоретического методов изучения физики, выявления сути физических законов на основе доступных школьникам понятий элементарной математики. Такой подход одновременно обеспечивает повышения уровня математических знаний, формирует логическое мышление, осознание единства материального вида. Школьники начинают испытывать удовлетворение, замечая, что абстрактные математические формулы и уравнения имеют реальное воплощение в физических процессах.

Взаимное сотрудничество преподавателей двух предметов предполагает благожелательность, уважение друг к другу, паритетные отношения между ними. Они делают общее дело.

При построении интегрированного курса «Физика + математика» мы поставили задачу максимально связать два столь близких, но разных предмета, чтобы они помогали друг другу, оставаясь самими собой. Оказалось, что это даёт непредвиденно крупный выигрыш.

Так, открылась возможность без учебной перегрузки школьников и при сравнительно «мягком» отборе новых трактовок, уже известных вопросов существенно обогатить содержание обоих курсов – математики и физики.

Читайте также:  Таблица свечей зажигания для мотоцикла урал

«Конфликт» учителей физики и математики основан на том, что последние не соглашаются ввести понятия вектора – в начале 7 класса, понятия производной и интеграла – в начале 9 класса., когда эти понятия очень нужны для рационального изложения физических вопросов, таких,как сила, скорость, мгновенная скорость, ускорение, работа и т.д. Физики по этому поводу иронизируют, считая, что изучать в 11 классе интегрирование, все ровно, что монтировать строительный кран после окончания строительства и в этом есть доля истины. Математики не без основания возражают, что нельзя в интересах «заказчика» поступаться ни математической последовательностью и систематичностью изложения – этим был бы непоправимо испорчен математический вкус школьников.

В этом доводе больше снобизма, чем действительной убежденности, опирающейся на отрицательный итог большой поисковой работы. Есть много путей и трактовок, отвечающих всем стандартам, предъявляемым математиками. Надо их перебрать (да и выдумать новые) – вдруг найдутся такие, что устроят и физиков?! Это было бы в духе делового партнерства.

Для развития математики весьма характерна такая схема:

  • сначала имеется или предлагается недостаточно четкая задача, зародившаяся вне математики (или в другой математической дисциплине);
  • постановка задачи формулируется (т.е. строится математическая модель), и задача решается с полной строгостью;
  • полученное решение используется на практике и «обкатывается» прикладниками, причем нередко возникает необходимость в изменении модели.

Приведенная трехэтапная схема выражает общее правило, которое мы и приняли за образец, позволяющий уже достаточно рано ввести понятие вектора, производной и интеграла. Осуществляется это методом «межпредметной кооперации»

Сначала на уроках физики, исходя из ее потребностей вводится новое понятие6 вектор – как скорость, сила, перемещение; производная – как мгновенная скорость, и одновременно как крутизна графика, интеграл – как пройденный путь и одновременно, как площадь фигуры под графиком скорости. Затем следует урок математики, на котором введенное физиком понятие формализуется, уточняется и дополняется. Далее учителя физики и математики ведут каждый свою линию. Физик распространяет дифференцирование на величины векторные, перейдет от скоростей к ускорению. Математик поставит вопрос о существовании производных, найдет производные многих элементарных функций и их различных комбинаций; обоснует их свойства и научит их применять в математики и за ее рамками.

Однако такая межпредметная кооперация не устраняет главного препятствия, мешающего столь раннему доступу к тайнам математического анализа. Нужно строгое и доступное в этом возрасте определение предела. И мы попытались это сделать.

Обзор глав, изучаемых по классам с указанием новаций, облегчающих усвоение, экономящих силы и время

Глава 1. Векторы на плоскости.

Важнейшие теоремы планиметрии. Декартовые координаты в пространстве. Понятие вектора. Сложение векторов. Произведение вектора на число.. Модуль, направление, ориентация и скаляр вектора. Проекции векторов. Орты. Скалярное и векторное произведение. Применение векторов.

  1. Межпредметная кооперация с физикой: вектор вводится как количественная характеристика перемещения.
  2. Уточненная система понятий6 направление – ориентация; модуль вектора и его скаляр.

Глава 2. Функции и пределы.

Понятие о числовой функции. Функция и график. Функция под «микроскопом». Совершенная функция. Бесконечная малость. Предел функции.

  1. Понятие пределов вводится не с помощью ипсилонов и дельт, а с помощью метода диаграммы (двойной воронки), притом сразу для функции заданной на отрезке. Метод столь же строг, но гораздо нагляднее.
  2. Предел последовательности трактуется как частный случай предела функции.

Глава 3. Производная.

Понятие производной. Производная суммы и отношения двух функций. Производная степени с натуральным показателем, обратной функции, квадратного корня, синуса и косинуса. Дифференциал. Производная сложной функции. Применение производных. Максимумы и минимумы функции. Дифференцирование векторных величин.

  1. В случае межпредметной кооперации производная вводится в физике и сразу же формализуется в математики.
  2. Производная синуса и степени вводится без опоры на бином Ньютона и синуса суммы.

Глава 4. Интеграл.

Понятие интеграла. Теорема Ньютона- Лейбница. Табличные интегралы. Интеграл суммы двух функций и произведения функции на постоянную. Замена переменной при интегрировании. Применение интеграла.

  1. Понятие интеграла вводится в физике и одновременно как путь и площадь под графиком скорости.
  2. В центре внимания смысл интеграла и его качественная оценка, а не техника интегрирования, которая будет совершенствоваться в старших классах.

Глава 5. Простейшие уравнения и системы.

Уравнения с одним неизвестным и множество его решений. Равносильность уравнений. Линейные, кусочно-линейные и квадратные уравнения. График уравнения с двумя неизвестными, отличие его от графика функций Система из двух уравнений с двумя неизвестными и методы их решения, аналитические и графические. Задачи на составления систем уравнений.

  1. Исследование уравнений с кусочно-линейными функциями часто встречаются при исчислении налогов, пенсий, тарифов.
  2. Уточнение понятий о графике функции и графике уравнения.

Что и как изучает физика? Макро-, мега-, микромир. Предмет физики. Физика – наука количественная, экспериментальная и теоретическая. Физика и математика. Физика и мировоззрение. Физика и техника.

  1. Четко вводится понятие физической величины как количественной характеристики того или иного свойства.
  2. Размерности трактуются как числовые множители.

Раздел 1. Кинематика.

Перемещение, траектория. Перемещение и векторы. Перемещение жесткого тела. Скорость при равномерном прямолинейном движении. Мгновенная скорость и производная. Скорость вращения. Сложение скоростей. Быстрота изменения скаляра и вектора скорости. Мгновенное ускорение и вторая производная. Продольное и поперечное ускорение. Равноускоренное движение. Обратная задача кинематики и интегрирование. Сложение ускорений.

  1. В кинематики с самого начала одновременно рассматривается не только материальная точка, но и протяженные тела и механизмы.
  2. Учитель физики вводи понятие вектора, которое уточняется и развивается на уроках геометрии.
  3. Вместе с понятием мгновенной скорости вводится понятие касательной к графику и производной, которые немедленно подхватываются математиками.
  4. Угловая скорость вводится в связи с изучением движения вращающегося звена механизма; при этом используется понятие векторного произведения.
  5. В связи с решением обратной задачи кинематики на уроки физики вводится понятие интеграла.

Раздел 2. Основы динамики.

Взвешивание и масса. Сохранение массы; плотность Импульс, центр масс. Электромагнитные силы. Гравитационные силы. Силы упругости и трения. Примеры типичных расчетов с анализом результатов. Разнообразие методов. Законы Ньютона. Законы сохранения. Комментарии к законам Ньютона.

  1. Масса вводится на гравитационной основе.
  2. Центр масс определяется через импульс – как воображаемая корпускула с той же массой и импульсом, что и вся рассматриваемая материальная система.
  3. Предварительный просмотр тривиальных случаев.
  4. Кинематический анализ предшествует силовому.
  5. Группировка звеньев в системы и применение законов Ньютона к их центру масс.
  6. Проверка по ранее рассмотренным тривиальным случаям.

О некоторых приемах реализации связей «математика-физика»

Связи математики и физики проявляются в трех видах ситуаций:

  1. физика ставит задачи, решение которых приводит к появлению новых математических идей и методов, а они, в свою очередь, становятся базой для развития математической теории;
  2. математическая теория с ее идеями и аппаратом применяется для изучения и анализа физических явлений, что приводит к созданию новой физической теории;
  3. математический аппарат, на который опирается физическая теория, развивается по мере его использования в физике; происходит параллельный прогресс и физики, и математики.

Математический аппарат необходим физике как язык для описания физических процессов и явлений, один из методов физического исследования.

Идеи теории симметрии, тесно связанные с математикой, в частности с геометрией, позволяют в молекулярной физике рассмотреть на основе общих научных положений строение молекул кристаллов; в оптике изучить построение изображений в плоских зеркалах. Язык математических формул позволяет в ряде физических ситуаций без экспериментов делать важные выводы.

Читайте также:  Все производные предлоги таблица слитно раздельно

Графический язык, основа которого- математика, широко используется в курсе физики при рассмотрении различных процессов. И это естественно, так как график позволяет показать специфику происходящего, прогнозировать ожидаемый результат, наглядно пояснить ответ.

Реализация межпредметных связей не может происходить сама по себе; для этого нужна специальная организация учебного материала и самого процесса обучения, направленная на установление этих связей. Для того чтобы межпредметные контакты стали достоянием сознания учащихся, следует включать материал о них в учебно-позновательную деятельность.

Педагогу следует прежде всего отбирать материал, который представляет межпредметные связи, выбирать формы обучения им.

Источник

Математика и физика — кто кому слуга?

В 1912 году Альберт Эйнштейн, 33-летний физик-теоретик в Цюрихском Политехникуме, работал над расширением разработанной им специальной теории относительности, в которой он установил связь между измерениями пространства и времени. Теперь он пытался включить в свою теорию явление гравитации. Этот подвиг – который совершит очередную революцию в физике и приведет к теории общей теории относительности Эйнштейна – требовал совершенно нового математического подхода.

Для этого он обратился к своему коллеге и давнему другу — математику Марселю Гроссману с просьбой помочь в выборе способа для описания искривлённого четырёхмерного пространства-времени. И Гроссман предоставил ему такой инструмент – Риманову геометрию.

Эта математическая структура, разработанная в середине 19-го века немецким математиком Бернхардом Риманом, сама по себе была революционной. Она представляла собой прорыв в математическом мышлении от представления математических форм как подмножеств трехмерного пространства, к идее об ее свойствах. Например, сфера может быть описана как набор точек в трехмерном пространстве, которые находятся ровно на 1 единицу от центральной точки. Но ее также можно описать как двумерный объект, который имеет особые свойства кривизны в каждой отдельной точке. Это альтернативное определение не очень важно для описания самой сферы, но в конечном итоге оказывается очень полезным для описания более сложных многообразий или многомерных пространств.

Во времена Эйнштейна эта теория была еще достаточно новой, но оказалась именно тем, что было нужно Эйнштейну. Риманова геометрия дала ему тот самый фундамент, в котором он нуждался, чтобы математически сформулировать точные уравнения общей теории относительности. Эйнштейн и Гроссман смогли опубликовать свои работы в том же году.

Но, конечно, взаимодействие между математикой и физикой намного сложнее. Долгое время они даже не были отдельными дисциплинами. Древнегреческая, египетская и вавилонская математика исходили из того, что мы живем в мире, в котором расстояние, время и гравитация ведут себя строго определенным образом.

История физики как самостоятельной науки начинается с опытов Галилея и его учеников, однако теоретический фундамент создал Исаак Ньютон в конце XVII века. Для этого Ньютону пришлось изобрести новый раздел математики, который называется дифференциальное исчисление. Дифференциальное исчисление облегчило решение некоторых проблем классической геометрии, но его главной целью для Ньютона было дать ему возможность анализировать движение и изменения, которые он наблюдал в физике. Для Ньютона математика была точным инструментом, который он умело использовал для объяснения физических явлений.

Но даже после того, как физика и математика начали свои отдельные эволюционные пути, дисциплины были тесно связаны и на протяжении всей истории и вносили важные идеи друг в друга. Работа математика Германа Вейля над математическими объектами, называемыми группами Ли, послужила важной основой для понимания симметрии в квантовой механике.

В своей книге 1930 года «Принципы квантовой механики» английский физик-теоретик Поль Дирак ввел понятие дельта-функции Дирака, которая помогла ему описать концепцию в физике элементарных частиц точечной частицы — чего угодно, настолько маленького, что она будет смоделирована точкой в ​​идеализированной ситуации. Изображение дельта-функции Дирака выглядит как горизонтальная линия, лежащая вдоль нижней части оси x графика, в точке x = 0, за исключением того места, где она пересекается с осью y, где она переходит в линию, стремящуюся в бесконечность. Дирак объявил, что интеграл этой функции, то есть мера площади под ней, равна единице. Использование Дираком дельта-функции, в конечном итоге подстегнуло математика Лорана Шварца к разработке так называемой теории распределений. Сегодня распределения чрезвычайно полезны в математике в областях обыкновенных и дифференциальных уравнений.

Хотя современные исследователи все больше и больше фокусируют свою работу на конкретном разделе, грань между физикой и математикой все еще размыта. К примеру, физик-теоритик Эдвард Виттен выиграл Медаль Филдса, одну из самых престижных наград в математике. А математик Максим Концевич получил новые прорывные премии в области математики и физики. Можно посетить семинарские беседы о квантовой теории поля, черных дырах и теории струн как на математическом, так и на физическом факультетах. С 2011 года ежегодная конференция String Math собирает математиков и физиков для работы над пересечением их исследований в области в теории струн и квантовой теории поля.

Теория струн, пожалуй, лучший пример того как происходит взаимодействие математики и физики, которое в конечном итоге возвращает нас к Эйнштейну и к вопросу о гравитации.

Теория струн — это теоретическая структура, в которой описываемые Дираком точечные частицы становятся одномерными объектами, называемыми струнами. Часть теоретической модели для этих струн соответствует гравитонам, теоретическим частицам, несущим силу притяжения.

Большинство людей скажут вам, что мы воспринимаем Вселенную как имеющую три пространственных измерения и одно измерение времени. Но согласно теории струн, Вселенная существует в 10 измерениях. В 1984 году, когда количество физиков, работающих над теорией струн, увеличилось, группа исследователей, включая Эдварда Виттена, физика, который был позже награжден Филдсовской медалью, обнаружила, что дополнительные шесть измерений теории струн должны были быть частью пространства, известного как пространство Калаби-Яу.

Когда математики и физики изучали эти пространства, они обнаружили интересную двойственность между многообразиями Калаби-Яу. Два многообразия, которые кажутся совершенно разными, могут в итоге описать одну и ту же физику. Эта идея, называемая зеркальной симметрией, расцвела в математике, что привело к целому новому направлению исследований. Основа теории струн почти стала игровой площадкой для математиков, открывая бесчисленные новые возможности для исследования.

Можно смело утверждать, что теория струн и связанные с ней темы будут и впредь обеспечивать связь между физикой и математикой.

Математики и их внимание к строгим доказательствам приводят одну точку зрения, а физики, с их тенденцией отдавать приоритет интуитивному пониманию, приводят другую. Такое взаимодействие в конечном итоге приносит результат.

Связь между физикой и математикой восходит к началу обоих предметов: по мере развития, эти отношения становились все более запутанными. Казалось бы, нет конца местам, где удачно расположенный набор инструментов для проведения вычислений мог бы помочь физикам, или где пробный вопрос из физики мог бы вдохновить математиков на создание совершенно новых математических объектов или теорий.

Источник

Математические открытия или изобретения? Связь математики с физикой.

Роль математики в физике сложно переоценить. Известна цитата Галилео Галилея «Математика — это язык, на котором написана книга Природы». Но только ли языком является современная математика? Работа математиков заключается в нахождении новых математических объектов и исследовании их свойств и взаимосвязей. Со времен Галилея появилось множество новых разделов математики со своим языком для описания математических объектов.

Возьмем известный всем математический объект — функцию. В школьной программе ее вводят в виде \( \displaystyle y=f(x)\) и подразумевают задание какой-то зависимости переменной y от переменной x.


Однако с точки зрения теории множеств, функция — это отображение одного множества в другое:

Читайте также:  Таблица размеров нарезки резьбы все размеры


А с помощью абстрактной алгебры функцию можно представить в виде оператора, а набор значений x и y считать векторами. В данном описании задание функции эквивалентно заданию матрицы оператора \( \displaystyle \hat \).
\( \displaystyle Y=\hatX \)

А в теории возмущений, функции привычнее задавать в виде бесконечного ряда. Причем для разных областей определения функции конкретный вид ряда может отличаться.

То есть функция существует как некий абстрактный математический объект, который можно «увидеть» с помощью разных математических методов. Данные рассуждения можно отнести практически к любому математическому объекту. Вектор, например, можно задать абстрактным символом \( \displaystyle \overline \) или конкретным координатным представлением \( \displaystyle (v_,v_,v_) \). Причем численные значения этих координат будут зависеть от выбранной системы координат и базиса.

Так существуют ли математические объекты, которых миллионы (или бесконечность?), как некие абстрактные сущности вне времени и пространства и которые в какой-то момент были просто открыты математиками и не зависят от конкретных способов описания/исследования? Или же все это изобретения человеческого ума?

Данный вопрос обсуждается еще со времен античных философов. Одни считают, что математические объекты существуют в «Платоновском мире идей» независимо от нас. Роджер Пенроуз — яркий представитель данного направления.

Вроде бы логично. Многие математические объекты были открыты независимо разными людьми и даже разными цивилизациями. Теорема Пифагора и другие аспекты Евклидовой геометрии или некоторые факты из теории чисел были известны всем древним культурам. Теорема Пифагора или натуральные числа в этом смысле существовали всегда в Платоновском мире. Позднее были открыты отрицательные числа, действительные числа, комплексные числа, кватернионы. Открываемые математические объекты становятся все более абстрактными: Грассмановы числа, группы, кольца, поля, расслоения… Но все они подчиняются тем или иным правилам, которые выполнялись всегда и будут выполняться всегда. Мало кто сомневается, что теорема Пифагора работала даже до формирования Земли и зарождения жизни. Евклидово пространство как математическая структура, таким образом, занимает свой уголок в Платоновском мире.

Однако существует противоположная точка зрения которую разделяют даже некоторые топовые математики, например, Майкл Атья.

Идея такова — в корне всех математических открытий все равно лежат наблюдения, полученные нами через органы чувств. Майкл говорит, что если бы мы не видели вокруг себя дискретных вещей (были бы плазмоидной формой жизни на планете типа «газовый гигант»)), то даже понятие числа и арифметика не были бы изобретены. Что не означает отсутствие математики вообще, просто она была бы другая.
Действительно, откройте современную статью по абстрактной алгебре и вы не увидите ни одного числа. Без органов зрения и соответствующей эволюции мозга не было бы пространственного воображения и геометрии в том виде, как мы ее знаем. И так далее, то есть математика — это изобретение человечества. Из бесконечного набора гипотетических математических объектов выбираются лишь некоторые, которые наш ограниченный мозг может осознать, и следовательно они (хоть и не всегда очевидно) связаны с окружающей реальностью. Микеланджело говорил «Скульптура уже существует внутри куска мрамора. Я лишь отсекаю лишнее». Так и математические объекты скорее создаются математиками подобно скульптуре из океана бесконечных возможностей.

В рамках этой парадигмы Майкл отвечает и на известный вопрос физиков, сформулированный в известной статье Ю.Вигнера Необъяснимая эффективность математики в естественных науках. Почему в современной теоретической физике находят применение такие абстрактные математические объекты, которые казалось бы не имеют никакого отношения к реальности. Атья говорит — математика в конечном счете, как и физика, основана на наблюдениях окружающего мира. Ничего удивительного, что она отражает реальность.

Работа физика-теоретика заключается в построении математической модели, которая бы описывала наблюдаемые явления и желательно предсказывала бы существование новых. Все физические теории — это математические модели. Закон Ньютона выражается математически как \( \displaystyle F=ma \). Это на самом деле пример модели, основанной на дифференциальном уравнении, поскольку ускорение есть вторая производная по времени. То есть в развернутом виде закон Ньютона выглядит как:

Для Ньютоновской механики необходимо дифференциальное исчисление. Для общей теории относительности Эйнштейна нужна уже неевклидова геометрия, точнее Риманова геометрия. Для квантовой механики абстрактная алгебра с Гильбертовыми пространствами и линейными операторами. Но в то же время нельзя оспорить, что математика имеет дело с куда большим диапазоном исследуемых абстрактных структур, чем физика. Математика ограничена лишь логикой. Она не ограничена, скажем, тремя пространственными измерениями или физическими принципами.


Куча теорем имеют только математическую ценность (пока?). Но часть из них служит основой физики. С этой точки зрения физика — всего лишь часть математики. Дополнительные физические принципы, не берущиеся обычно математиками в рассмотрение, жестко ограничивают выбор возможных математических структур для описания физических явлений. Современная физическая теория должна быть инвариантной относительно преобразований Лоренца и калибровочных преобразований, не противоречить постулатам квантовой механики и т.д. На самом деле это очень жесткие ограничения, но даже в рамках них существует множество пространства для маневров.

Крайняя точка зрения в этом направлении высказывается Максом Тегмарком — физического мира как такового не существует, мы находясь внутри математического мира и являясь его частью просто ощущаем его таковым. Задачей физики является нахождение «своих координат» в этом математическом мире, то есть поиск тех математических структур, которые позволяют развиться таким самоосознающим объектам типа нас с вами и наблюдаемой Вселенной с ее законами в целом.

Между тем, хотя физику и можно считать частью математики, она оказывает большое влияние на ход развития последней. Дифференциальное и интегральное исчисления были открыты Ньютоном в связи с задачами механики. И хотя обычно необходимая математика оказывается уже существующей к моменту становления новой физической теории (так было и с теорией относительности, и с квантовой механикой), современная физика оказывает влияние и на чистую математику.

Как только физика вышла за диапазоны величин непосредственно доступных органам чувств человека (скорости близкие к скорости света, атомарные расстояния и т.п.), оказалась востребована крайне абстрактная математика недоступная для визуализации нашим мозгом. Никто не может представить себе электрон, электромагнитную волну или четырехмерное пространство-время. Все что нам осталось — это исследовать описывающие их математические структуры. И чем детальнее описание, тем более абстрактные математические объекты возникают. И без подсказки Природы математики вряд ли додумались бы копать в сторону этих структур. Так появились квантовые группы, некоммутативная геометрия, твисторы и тому подобные вещи. Экспериментальная физика дает математике современную замену органам чувств.

Вопросы касательно объективного существования всегда уходят в сторону философии. Стоит ли отождествлять электрон с математической структурой для его описания? Единственно ли вообще математическое описание физического объекта или разные математические структуры могут описывать одну физику? Существует ли объективная реальность для любой математической структуры?
Девяносто девять процентов всех существовавших когда-либо на Земле биологических видов (по текущим оценкам 5 миллиардов) к настоящему моменту вымерли. Но они отличаются всего лишь структурой ДНК. В Платоновском мире это соседние области математического пространства. Существуют ли объективно эти вымершие или никогда не существовавшие в нашем мире животные в «параллельных вселенных»? Здесь опять прослеживается тесная связь с современной физикой. Многомировая интерпретация квантовой механики утверждает, что все возможные эволюционные траектории существуют объективно. Однако классическая, Копенгагенская интерпретация, говорит совсем противоположное — объективный мир вообще не существует. По крайней мере независимо от субъекта — наблюдателя.
Субъективна ли математика?

Источник

Adblock
detector