Меню

Работа с логарифмическими таблицами

Работа с логарифмическими таблицами

Таблицы Логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10 k N (при k целом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg10 k N = k + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = — 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).

Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях — таблицы, позволяющие без большого труда вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л. т. часто приводятся таблицы антилогарифмов — чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы так называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы тригонометрических величин.

Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейцарским математиком И. Бюрги. Таблицы Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 10 7 , а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 10 7 был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 10 7 , у него положительны. Непер не ввёл понятия об основании системы логарифмов. Его логарифм числа N в современных обозначениях приблизительно равен . Свойства логарифмов Непера несколько сложнее обычных, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.

«Арифметические и геометрические таблицы прогрессий» (1620) Бюрги представляют собой первую таблицу антилогарифмов («чёрные числа») и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам («красным числам»). «Красные числа» Бюрги суть логарифмы поделенных на 10 8 «чёрных чисел» при основании, равном . Таблицы Бюрги и особенно Непера немедленно привлекли внимание математиков к теории и вычислению логарифмов. По совету Непера английский математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и затем 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы иногда называют бриговыми). 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли много изменений в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 ошибки, у австрийского математика Г. Вега в 1783 — пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 немецкий математик К. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 при участии Л. Ф. Магницкого (См. Магницкий) . Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были опубликованы в 1802 итальянским математиком З. Леонелли; К. Ф. Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в общее употребление.

Лит.: Брадис В. М., Четырехзначные математические таблицы, М. — Л., 1928, посл., 44 изд., М., 1973; Милн-Томсон Л.-М., Комри Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; Вега Г., Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М. — Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1—2, М., 1971.

Источник



Определение логарифма, его свойства и график

Логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое.

Если число b в степени y равняется x:

Значит логарифм числа x по основанию b равен y:

Например:

  • Логарифм как обратная функция к показательной
  • Натуральный логарифм (ln)
  • Обратный логарифм
  • Таблица свойств логарифмов
  • Логарифмическая функция
  • График функции логарифма

Логарифм как обратная функция к показательной

Логарифмическая функция y = logb(x) является обратной функцией к показательной x=b y .

Так что, если мы вычислим показательную функцию логарифма х (х > 0) , получится:
f (f -1 (x)) = b log b (x) = x

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е.

Число e – это константа, которая может определяться как предел:

Число e через предел

Число e через предел

Обратный логарифм

Обратный логарифм (или антилогарифм) числа n – это число, логарифм которого по основанию a равен числу n.

Таблица свойств логарифмов

Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[<"row":9,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":10,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":11,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":12,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>,<"row":15,"col":1,"rowspan":1,"colspan":2,"removed":false>]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Читайте также:  Таблица умножения большого формата
Свойство Формула Пример
Основное логарифмическое тождество
Логарифм произведения
Логарифм деления/частного
Логарифм степени
Логарифм числа по основанию в степени » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график
Логарифм корня » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график » data-order=»«>Определение логарифма, его свойства и график
Перестановка основания логарифма
Переход к новому основанию
Производная логарифма
Интеграл логарифма
Логарифм отрицательного числа
Логарифм числа, равного основанию
Логарифм бесконечности

Логарифмическая функция

Функция, которая определена формулой f(x)=loga(x) – это логарифмическая функция с основанием a. При этом a>0, a≠1.

График функции логарифма

График логарифмической функции (логарифмика) может быть двух типов, в зависимости от значения основания a:

График логарифма с основанием больше 1

  • a > 1
  • 0

Источник

Устройство и основные правила пользования логарифмическими таблицами

Предпосылки.

  • Из свойств десятичных логарифмов следует, что характеристику логарифма целого числа и десятичной дроби можно находить без помощи таблиц (в этом заключается большое удобство десятичных логарифмов).
  • Вследствие этого в логарифмических таблицах помещаются только одни мантиссы.
  • Кроме того, т. к. нахождение логарифмов дробей сводится к нахождению логарифмов целых чисел (логарифм дроби = логарифму числителя без логарифма знаменателя), то в таблицах помещаются мантиссы логарифмов только целых чисел.
  • В таблицах помещены только положительные мантиссы.

Преобразование отрицательного логарифма в такой, у которого мантисса положительна, и обратное преобразование.
Из свойств логарифмов, изложенных в Разделе №12 следует, что логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны. Значит, они состоят из отрицательной характеристики и отрицательной мантиссы. Такие логарифмы всегда можно преобразовать так, что у них мантисса будет положительная, а характеристика останется отрицательной.
Для этого достаточно прибавить к мантиссе положительную единицу, а к характеристике — отрицательную (от чего, конечно, величина логарифма не изменится). Поясним это утверждение примерами:
Пример № 2.2.1.

Допустим мы имеем логарифм, какого-то числа равный:
lgN = -2,0873
Тогда можно написать равенство:
-2,0873 = -2 + (-0,0873)
Руководствуясь изложенным выше, преобразуем это равенство таким образом, чтобы характеристика оставалась отрицательным числом, а мантисса стала положительным числом:
-2 + (-0,0873) = -(2 + 1) + (1 — 0,0873) = -3 + 0,9127
Используя принятую в математике систему обозначений, это равенство можно записать сокращённо:

UПример №2.2.2.

Обратно, всякий логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно превратить в отрицательный.
Для этого достаточно к положительной мантиссе приложить отрицательную единицу, а к отрицательной характеристике — положительную.
Исходя из этого утверждения можно, например, записать:

    • Описание четырехзначных таблиц

За период после издания Г. Бриггсом первых десятичных таблиц много было издано различных таблиц под редакцией различных авторов. Их суть, практически единая. Отличие главным образом сводится к точности.
Основной тип таблиц:

  • четырёхзначные
  • пятизначные
  • семизначные

С развитием компьютерной техники, издано множество программ, позволяющих легко находить логарифмы чисел и осуществлять поиск чисел по значениям их логарифмов.
Однако, на практике, на бытовом уровне трудно переоценить значение таблиц. Пользование ими не требует ни специальных знаний, ни специальной техники и компьютерных программ. Да и стоимость их мизерная.
Для решения большинства практических задач вполне достаточны четырехзначные таблицы, обращение с которыми весьма простое. Таблицы периодически издаются. Характерным отличием этих таблиц − надпись «логарифмы» наверху. В них содержатся мантиссы логарифмов.
Для иллюстрации методики пользования таблицами, далее помещается маленькая выписка из четырёхзначных логарифмических таблиц.
В четырёхзначных таблицах логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 включительно, вычислены мантиссы с четырьмя десятичными знаками. Причем последний из этих знаков увеличен на 1 во всех тех случаях, когда 5-й десятичный знак должен был бы оказаться 5 или более 5. Следовательно, четырёхзначные таблицы дают приближенные мантиссы с точностью до 1/2 десятитысячной доли (с недостатком или с избытком).

Источник

Логарифмическая таблица

Логарифм таблица представляет собой табличное представление мантиссы от логарифмов . Более точная таблица журналов обычно занимает несколько страниц книги. Таблицы логарифмов на протяжении веков были важным помощником в арифметике , особенно в естественных и технических науках. Многие вычисления в школьной математике, например Б. выдергивание сложных корней могло осуществляться только с их помощью. Изобретение и широкое использование карманных калькуляторов и компьютеров сделало использование журнальных таблиц, подобных таблице логарифмических линейок , практически полностью излишним в течение нескольких лет.

Наиболее распространенными таблицами были десятичные логарифмы (с основанием 10 ) с разрешением от 1,00 до 9,99.

содержание

  • 1 рассказ
  • 2 использования
  • 3 структура
  • 4 Сгенерировать
  • 5 таблеток P.P.
  • 6 мелочей
  • 7 известных проблем
  • 8 веб-ссылок
  • 9 индивидуальных доказательств

история

Историю логарифмов см. В основной статье Логарифм: История .

В своей работе Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Джон Нэпьер первым опубликовал логарифмическую таблицу в 1614 году и считается ее изобретателем. Сначала его интересовало более простое и точное использование тригонометрических таблиц, используемых в то время. В приложении « Constructio» Нэпьер рассматривал возможность занять прочную базу, что вскоре и сделал его друг Бриггс.

Йост Бюрги участвовал в введении и развитии десятичных чисел, которые были необходимы для практической арифметики, и вычислил первую таблицу логарифмов 1603-11 независимо от Напьера. Кеплер несколько раз уговаривал его опубликовать его, но , по словам Нэпьера, этого не произошло до 1620 г., когда был введен Табул арифметики и геометрического прогресса . Как сотрудник Иоганна Кеплера, он использовал таблицы логарифмов, созданные для астрономических расчетов. Эти таблицы были чисто числовыми. Bürgi уже удалось избежать систематических ошибок, вычислив точки поворота независимо.

Генри Бриггс ввел 10 в качестве единой основы в 1624 году . Он больше не мог сам заполнять свою таблицу — здесь логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 были перечислены с 14 цифрами. Он был полностью опубликован голландскими издателями Адрианом Влакком и Эзехиэлем де Декером в 1627/28 году в Нидерландах. Таблицы Vlacq содержали относительно небольшие 603 ошибки. Они полностью вытеснили таблички Нэпьера и не оставили интереса к логарифму Кеплера Chilias logarithmorum 1624 года.

Таблицы были рассчитаны с использованием возведения в степень. Только после изобретения исчисления бесконечно малых стало доступно для вычислений все больше и больше сходящихся рядов.

У Николая Меркатора была возможность использовать ряд (1668 для ln (1 + x) ) для расчета, тем не менее, потребовалось более 100 лет, пока Юрий Вега опубликовал свой Thesaurus logarithmourum completetus почти без ошибок в 1783 году , который был самым известным таблицы и почти для всех нижних цифр легли в основу. Карл Бремикер усовершенствовал Vega-Bremiker ( Вега-Бремикер ).

использовать

Таблицы логарифмов позволяют свести умножение и деление чисел к более простому сложению и вычитанию . До появления механических или электрических вычислительных машин журнальные таблицы значительно упрощали арифметику. Так были логарифмы в школе , между прочим в школе математики и физики или незаменимого компаньона.

а

Произведение двух чисел и происходит по закону логарифмов а <\ displaystyle a> б <\ displaystyle b>

 \ log_x (a \ cdot b) = \ log_x a + \ log_x b

бревно Икс ⁡ ( а ⋅ б ) знак равно бревно Икс ⁡ а + бревно Икс ⁡ б <\ displaystyle \ log _ (a \ cdot b) = \ log _ a + \ log _ b>

вычисляется путем поиска логарифма основного числа и логарифма основного числа в таблице. Формируется сумма двух логарифмов и производится поиск в таблице. Число, полученное из этой суммы в виде логарифма, тогда является произведением и . а <\ displaystyle a> аИкс <\ displaystyle x> Иксб <\ displaystyle b> бИкс <\ displaystyle x> Икса <\ displaystyle a> аб <\ displaystyle b> б

С помощью таблицы логарифмов арифметические операции можно проследить до следующей более простой операции: от умножения до сложения, от деления до вычитания, возведения в степень до умножения и квадратного корня (извлечения корней) до деления. Эти доходы основаны на следующих логарифмических законах:

бревно Икс ⁡ ( а ⋅ б ) знак равно бревно Икс ⁡ а + бревно Икс ⁡ б ; а , б ∈ Р. + бревно Икс ⁡ ( а б ) знак равно бревно Икс ⁡ а — бревно Икс ⁡ б ; а , б ∈ Р. + бревно Икс ⁡ ( а б ) знак равно б ⋅ бревно Икс ⁡ а ; а ∈ Р. + , б ∈ Р. бревно Икс ⁡ а б знак равно 1 б ⋅ бревно Икс ⁡ а ; а ∈ Р. + , б ∈ Р. ∖ < 0 > <\ displaystyle <\ begin \ log _ (a \ cdot b) & = \ log _ a + \ log _ b; && a, b \ in \ mathbb ^ <+>\\\ log _ \ left ( <\ frac > \ right) & = \ log _ a- \ log _ b; && a, b \ in \ mathbb ^ <+>\\\ log _ (a ^ ) & = b \ cdot \ log _ a; && a \ in \ mathbb ^ < +>, \ b \ in \ mathbb \\\ log _ <\ sqrt [] > & = <\ frac <1>> \ cdot \ log _ < x>a; && a \ in \ mathbb ^ <+>, \ b \ in \ mathbb \ setminus \ <0 \>\ end >> <\ displaystyle <\ begin <align data-lazy-src=

Икс знак равно бревно б ⁡ а <\ Displaystyle х = \ журнал _ а>

Выдержка из десятичного (основание 10) логарифма, числа (числового значения ) слева и выше, мантиссы (то есть десятичных знаков ) справа для пятизначных логарифмов. Знаки после запятой разделены на группы по двоек и троек, последние три цифры справа. В других таблицах, таких как здесь, например, 82 не повторяется, а записывается в столбце только один раз, и только когда оно увеличивается до 83, записывается ниже в столбце: б <\ displaystyle b> ба <\ displaystyle a> аИкс <\ displaystyle x> Икс

N 1 2 3 4-й 5 6-е 7-е 8-е 9
661 0,82020 027 033 040 046 053 060 066 073 079
662 0,82086 092 099 105 112 119 125 132 138 145
ПП 6-е 7-е
1 0,6 0,7
2 1.2 1.4
3 1,8 2.1
4-й 2.4 2,8
5 3.0 3.5
6-е 3,6 4.2
7-е 4.2 4.9
8-е 4.8 5,6
9 5,4 6.3

Если вы хотите определить интерполированную мантиссу для числа 66108, вам нужно добавить в восемь раз десятую часть разницы в таблице 7 (горизонтальная разница между значениями таблицы), то есть 5,6 или 0,000056, и тогда будет округлено m = 4,82026. .

Если вы хотите добавить еще одну цифру, вы берете часть разницы таблицы, деленную на 100 вместо 10. Округлять следует только последнюю цифру. Для шестизначного числа N = 6613,78 на первом шаге 4,2 на втором 0,48, а затем получает пятизначное число m = 82040 + 4,2 + 0,48 = 82045, т.е. 3,82045.

Если у вас есть четырехзначное число M = 82116 (3,82116) между M = 82112 и M = 82119, N должно быть между N = 6624 и N = 6625. Разница в таблице составляет 7, дополнительные 4 мантиссы, скорее всего, будут найдены в таблице, поэтому при 3,5 число равно 6624,5, если округлить 4,2, это будет 6624,6. 3,5 можно снова увеличить на 0,49, что означает 0,07 в таблице, поэтому число N, наконец, равно 6624 + 0,5 + 0,07 = 6624,57, которое округляется до 6624,6. Как делать математику с помощью калькулятора.

Как вы можете видеть, таблицы даны для различий 7 и 6, поскольку обе они указаны в таблице, от 027 до 033 — шесть, затем снова семь, от 033 до 040.

Мелочи

Бревенчатые таблицы сыграли роль в открытии закона Бенфорда (фактически Саймоном Ньюкомом ). Сторона с первой цифрой нужна чаще, чем другие цифры, и поэтому изнашивается быстрее.

Известные вопросы

  • Вега-Бремикер , семизначные логарифмы и тригонометрические функции, с 1795 г.
  • Вильгельм Джордан (геодезист) , логарифмы и вспомогательные таблицы
  • Ф.Г. Гаусс : Пятизначные полные логарифмические и тригонометрические таблицы . (Более 100 изданий с 1870 г.).

веб ссылки

Викисловарь: Таблица логарифмов — объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

Источник

Таблица логарифмов

Определения и таблица логарифмов

Логарифмом числа bпо основанию aназывается такое число c, при котором имеет место равенство b=a^<c data-lazy-src=

Натуральный логарифм \ln b— логарифм по основанию e:

\[\ln b=\log _<e data-lazy-src=

\[\lg b=\log _<10 data-lazy-src=

Задание С помощью таблицы натуральных логарифмов вычислить \ln 48
Решение В столбце «Десятки» находим 4, а в строке «Единицы» — 8. На пересечении указанных строки и столбца находится значение 3,8712; то есть

\[\ln 48=<\rm 3,8712 data-lazy-src=

\[\lg a=\frac<\ln a data-lazy-src=

Итак, десятичный логарифм числа aравен произведению натурального логарифма этого же числа и числа M=\lg e\approx 0,4342945. .

Источник

Adblock
detector