Меню

Простые арифметические действия таблица



Основные арифметические действия

Выполнение арифметических действий

Сложение

Сложение – одна из основных операций, позволяющая объединить два слагаемых.

Запись сложения: 8 + 3 = 11

8 и 3 – слагаемые

Вычитание

Вычитание – действие, обратное сложению.

Запись: 15 – 7 = 8

Если разность 8 , сложить с вычитаемым 7 , это даст уменьшаемое 15 . Операция сложения 8 + 7 = 15 является контрольной проверкой вычитания 15 – 7 = 8 .

Умножение

Умножение – арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись: 12 × 5 = 60 или 12 • 5 = 60

12 × 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

В случае если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например:

2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».

Деление

Деление – арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 48 : 6 = 8 или 48 / 6 = 8

В данном случае произведение делителя 6 и частного 8 , в качестве проверки, дает делимое 48

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить дробью 3 / 5 . Если частное является целым числом, в таком случае говорят, что первое из озвученных чисел нацело делится или, проще говоря, делится на второе.

Например, число 35 полностью делится на 5, ибо частное это целое число 7 . Второе число в данном случае называется делителем первого, первое же – кратным второго.

Число 5 является делителем чисел 25 , 60 , 80 и не действует в качестве делителя для чисел 4 , 13 , 42 , 61 .

Число 60 кратное чисел 15 , 20 , 30 и не является кратным для чисел 17 , 40 , 90 .

В случае, когда делимое не делится полностью, иногда применяют так называемое деление с остатком. Деление с остатком, это отыскание наибольшего подходящего целого числа, которое в произведении с делителем дает нужное число, не превышающее делимое.

Такое искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, которое всегда меньше делителя.

Возведение в степень

Возведение степень – операция умножения числа на самого себя несколько ( n ) раз.

Основание степени называется число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показателем степени называется число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, получаемое в результате взаимодействия основания и показателя степени.

3 – основание степени

4 – показатель степени

3 4 = 3 × 3 × 3 × 3

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень – кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня

Извлечение корня – арифметическое действие, обратное возведению в степень.

81 – подкоренное число

4 – показатель корня

З 4 = 81 – возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня)

2 √16 = 4 – корень второй степени называется – квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4

3 √8 = 2 – корень третьей степени называется – кубичным.

Сложение и вычитание, умножение и деление, а так же возведение в степень и извлечение корня попарно представляют собой обратными действиями.

Правила первых четырех действий регулирующие взаимодействия с целыми числами предполагаются известными. Возведение в степень выполняется повторным умножением.

Источник

Простые арифметические действия таблица

» Машины должны работать.

Люди должны думать»

сайт Егоровой Марины Евгеньевны

  • Виртуальный методкабинет
    • Рабочие программы
    • Методические разработки
      • Системы счисления
      • Наглядная алгебра и геометрия
      • Тесты
  • Инновационная деятельность
    • Проекты
  • Районное методическое объединение
  • Итоговая и промежуточная аттестация
    • ОГЭ по информатике
      • 1-20 задания
    • ЕГЭ по информатике и ИКТ
    • Промежуточная аттестация
  • Повышение квалификации
    • Конференции
    • Вебинары
  • Портфолио достижений учителя
    • Достижения образовательной организации
    • Достижения учащихся
    • Публикации в СМИ
  • Гостевая книга
  • Карта сайта

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд. При вычитании, если необходимо, делают заем.

Пример 1. Сложить двоичные числа

111 + 101, 10101 + 1111:

Пример 2 . Вычесть двоичные числа

10001 — 101 и 11011 — 1101:

Пример 3. Умножить двоичные числа

110 • 11, 111 • 101:

Аналогично выполняются арифметические действия в восьмеричной, шестнадцатеричной и других системах счисления. При этом необходимо учитывать, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления.

Арифметические операции в восьмеричной системе счисления

Для представления чисел в восьмеричной системе счисления используются восемь цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), так как основа восьмеричной системы счисления равна 8. Все операции производятся посредством этих восьми цифр. Операции сложения и умножения в восьмеричной системе счисления производятся с помощью следующих таблиц:

Таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления

Пример 4. Сложить восьмеричные числа 453 + 671 и 142,63 + 106,71

Пример 5 . Вычесть восьмеричные числа 5153 — 1671 и 2426,63 — 1706,71

Пример 6. Умножить восьмеричные числа 51 • 16 и 16,6 • 3,2

Арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления

Для представления чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. В шестнадцатеричной системе число шестнадцать пишется как 10. Выполнение арифметических операций в шестнадцатеричной системе производится как и в десятиричной системе, но при выполнении арифметических операций над большими числами необходимо использовать таблицы сложения и умножения чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления

Пример 7. Сложить шестнадцатеричные числа

4A3 + 67C и 14D,F3 + 1A6,79

Пример 8. Вычесть шестнадцатеричные числа

51С — 1А7 и A4,6 — 1C,D

Пример 9. Умножить шестнадцатеричные числа

A1 • 1C и 1,F • 3,A

При выполнении арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, нужно предварительно перевести их в одну и ту же систему счисления.

Источник

Простые арифметические действия таблица

Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально. Запись сложения:

8+3=11,
где 8 и 3 — слагаемые;
11 — сумма.

2. Вычитание

Вычитание есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое — вычитаемого, искомое слагаемое — разности. Запись вычитания:

15-7 = 8;
15 — уменьшаемое,
7 — вычитаемое,
8 — разность,
Разность 8, сложенная с вычитаемым 7, дает уменьшаемое 15.
Сложение 8+7=15 является проверкой вычитания 15-7 = 8.

3. Умножение

Умножить некоторое число (множимое) на целое число (множитель) — значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько указывает множитель. Результат называется произведением. Запись умножения:

12*5=60,
12 — множимое,
5 — множитель,
60 — произведение.
12*5=12+12+12+12+12.

Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остается тем же.
Например,

2*5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2=10 и 5*2 = 5 + 5= 10.
Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».

4. Деление

Деление есть нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение получает название делимого, данный сомножитель — делителя, искомый сомножитель — частного.
Запись деления:

48 : 6 = 8; 48 — делимое, 6 — делитель, 8 — частное.
Произведение делителя 6 и частного 8 дает делимое 48(проверка деления).
Пишут также 48/6=8.

Частное от деления одного целого числа на другое целое может не быть целым числом; тогда это частное можно представить дробью. Если частное есть целое число, то говорят, что первое из упомянутых чисел нацело делится или, короче, делится на второе.

Например, 35 делится (нацело) на 5, ибо частное есть целое число 7.
Второе число в этом случае называется делителем первого, первое же — кратным второго.

Пример №1

5 есть делитель чисел 25, 60, 80 и не является делителем чисел 4, 13, 42, 61.

Пример №2

60 есть кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным чисел 17, 40, 90.

Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое. В случае, когда делимое не делится нацело на делитель, иногда выполняют так называемое деление с остатком.

Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком; он всегда меньше делителя.

Пример №3

19 не делится нацело на 5. Числа 1, 2, 3 в произведении с 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимое 19, но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19. Поэтому неполное частное есть 3. Разность между 19 и произведением 3-5=15 есть 19-15 = 4; поэтому остаток есть 4.

5. Возведение в степень

Возвести число в целую (вторую, третью, четвертую и т. д.) степень значит повторить его сомножителем два, три, четыре и т. д. раз. Число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени; число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель, называется показателем степени. Результат называется степенью.
Запись;

З 2 =9; здесь 3 — основание степени, 2 — показатель степени, 9 -степень; 3 2 =3*3. Вторая степень называется также квадратом, третью степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

6. Извлечение корня

Извлечение корня есть нахождение основания степени по степени и ее показателю. Данная степень получает название подкоренного числа, данный показатель — показателя корня, искомое основание степени называется корнем.

Запись,(кубический корень)27=3. Здесь 81-подкоренное число, 3 — показатель корня, 3- корень. Возведение числа 3 в третью степень дает 27; 3(в четвертой степени) = 81 (проверка извлечения корня).

Корень второй степени называется иначе квадратным; корень третьей степени — кубичным. При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно являются обратными действиями.

Источник

Порядок выполнения действий, правила, примеры

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

  1. Все действия выполняются слева направо.
  2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Источник

Арифметика. Арифметические действия

Содержание

Арифметика. Арифметические действия

Арифметическим действием называют операцию, удовлетворяющую ряду свойств и позволяющую по нескольким данным числам найти новое число.

Арифметикой называют науку, изучающую простейшие свойства чисел и арифметических действий.

Существуют шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Обратные арифметические действия

Вычитание – это арифметическое действие, обратное к сложению, деление – действие, обратное к умножению, извлечение корня – действие, обратное к возведению в степень.

Свойства арифметических действий

a + b = b + a ,
(a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
a + ( – a ) = 0
На 0 делить нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени, возведение в степень и извлечение корня – действиями третьей ступени.

Действия одной ступени выполняются в том же порядке, в каком они записаны в формуле.

Если в формуле содержатся действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высших ступеней, а затем низших ступеней.

Если формула содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Скобки бывают круглыми, квадратными и фигурными, причем между ними нет никакой разницы.

Если скобки содержат другие скобки, то сначала выполняют действия во «внутренних» скобках.

Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д.

Для того, чтобы умножить натуральное число на 10 , 100 , 1000 &nbsp и т.д., нужно справа приписать к нему столько нулей, сколько содержится в числе 10 , 100 , 1000 &nbsp и т.д. соответственно.

Действительно, например, число 3610 состоит из трёх тысяч, шести сотен и одного десятка, поэтому

Источник

Читайте также:  Важнейшие виды каучуков свойства и применение таблица
Adblock
detector