Меню

Присоединенные полиномы лежандра таблица



Присоединенные полиномы лежандра таблица

ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

Продифференцируем уравнение Лежандра

m раз по формуле Лейбница

Обозначим . Для u получим уравнение

Образуем функцию и выразим через нее производные функции :

Подставим производные в уравнение для u . После сокращения на и приведения подобных членов получим уравнение для :

Функция удовлетворяет уравнению для присоединенных полиномов Лежандра. Следовательно,

В формуле (4.183) должно быть , так как операция дифференцирования с не определена. Если подставить в (4.183) формулу Родрига ,

то такое определение полиномов Лежандра можно распространить и на случай , так как . Из (4.183) сразу следует

а из (4.184) легко найти несколько первых присоединенных полиномов Лежандра:

Графики нескольких присоединенных полиномов Лежандра в полярной системе координат показаны на рис.4.15

Рис.4.15 Графики полиномов

4.1.2.8.3. СВОЙСТВА ПРИСОЕДИНЁННЫХ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА

1. Четность. Из определения присоединенных полиномов Лежандра (4.185) следует

2. Ортогональность. Присоединенные полиномы Лежандра ортогональны на промежутке с весом ,

Доказательство : вычислим интеграл ортогональности с использованием определения присоединенных полиномов Лежандра

После m -кратного интегрирования по частям получим

Используем формулу Родрига и интегрируем по частям еще k — раз:

Применим формулу Лейбница для дифференцирования под интегралом

Производные не равны нулю, если

Сложив два неравенства, получим . Но это неравенство невозможно при , так как . Поэтому все производные равны нулю и, следовательно, при . Только при возможно равенство . В сумме при этом останется одно слагаемое с :

Производные под интегралом равны

Интеграл преобразуем к тригонометрической форме

Последний интеграл сводится к — функции. По определению,

Источник

Присоединенные полиномы лежандра таблица

Полиномы Лежандра и сферические функции. Ортогональность сферических функций. Нормирование. Ряд Лапласа. Аналитическое представление функций, заданных на сфере. Функции Лапласа.

Как мы видели, для вычисления сферических функций необходимо пользоваться полиномами и функциями Лежандра, которые входят в аналитический вид сферической функции. Для вычислений значений полиномов, и выполнения ряда аналитических выкладок весьма полезными являются некоторые свойства полиномов, на которых мы здесь остановимся.

Рекуррентная формула позволяет вычислить полином степени, если известны значения полиномов и степеней

Производящая функция полиномов Лежандра используется в представлении потенциала притяжения рядом по сферическим функциям. Она имеет вид

Ортогональность полиномов Лежандра определяется формулой

где — символ Кронекера. Присоединенные функции Лежандра также обладают свойством ортогональности. Из теории специальных функций известно, что

Сферические функции также образуют класс ортогональных функций. Докажем свойство ортогональности сферических функций. Возьмем две шаровые функции первого рода и .

Применим к ним вторую формулу Грина для сферы. Учитывая, что , формула Грина принимает вид

Для сферы производная по нормали совпадает с производной по радиус-вектору , поэтому

Подставляя полученные выражения в формулу (4.5), будем иметь

Поскольку радиус-вектор — постоянная величина, полученное выражение можно переписать в следующем виде

При приведенный интеграл равен нулю, что указывает на ортогональность сферических функций.

Вернемся теперь к сферическим функциям степени , заданной в общем виде

называются сферическими гармониками . Очевидно, что , . Можно показать, что

Все основные выкладки можно найти в учебниках по специальным функциям.

Как мы видели, средние значения квадратов сферических гармоник достаточно сложно выражаются через постоянные и . Однако, каждую из гармоник можно умножить на постоянные так, чтобы интегралы в формулах (4.9) были равны единице. Эта операция называется нормировкой. Обозначая чертой сверху нормированные функции, можно записать

где — нормировочный множитель. Выберем его так, чтобы выполнялись равенства

Обращаясь к формулам (4.9) легко устанавливаем, что

Полученную формулу можно переписать следующим образом

Операции нормировки подвергают не только сферические гармоники, но и полиномы и функции Лежандра. В частности, если нормированная сферическая функция имеет вид

Свойство ортогональности сферических функций делает их незаменимыми для аналитического представления физического поля, рельефа или других величин, заданных в виде карты на сферической поверхности. Сферические функции играют ту же роль, что и тригонометрические для приближенного представления произвольной функции, заданной на отрезке рядом Фурье. Ряд, заданный в виде суммы сферических гармоник, иногда называют рядом Лапласа.

Читайте также:  Таблица футбола украинского чемпионата

Пусть — известная, кусочно-непрерывная функция, заданная в сферических координатах. Аппроксимацию этой функции зададим в виде конечного ряда, содержащего сферических гармоник

Определим коэффициенты этого разложения так, чтобы функция аппроксимировала функцию с наименьшим среднеквадратическим отклонением

Для определения коэффициентов и воспользуемся условиями

где и , заданные числа. Выполняя дифференцирование, с учетом (4.13), получим

В полученные выражения нужно подставить вместо правую часть формулы (4.13), заменив в ней индексы суммирования и на и . Мы получим интегралы вида

Вследствие ортогональности сферических гармоник только те из интегралов отличны от нуля, которые содержат произведения одноименных гармоник с одинаковыми индексами. Выполнив операции, получим

Итак, наилучшая средняя квадратическая аппроксимация функции заданной на сфере, многочленом, составленным из нормированных сферических гармоник степени и порядка , имеет вид

где — нормированная присоединенная функция Лежандра.

Специальное исследование показало, что наш ряд при неограниченном увеличении числа членов при некоторых дополнительных условиях, накладываемых на функцию , сходится. Однако, исследование скорости этой сходимости лежит за пределами нашего курса.

Мы уже говорили, что разложения вида (4.17) есть аналог ряда Фурье, в котором роль тригонометрических функций выполняют сферические функции. Существует также и аналог интеграла Фурье — интегральная форма ряда Лапласа. Для того, чтобы ее получить, подставим в (4.17) постоянные и , которые определятся с помощью интегралов (4.16). Переменные, по которым производится интегрирование мы будем помечать штрихом. Таким образом

Принимая во внимание, что

Для дальнейшего упрощения полученной интегральной формулы воспользуемся так называемой теоремой сложения сферических функций.

Пусть точка имеет постоянные координаты, а точка принадлежит элементу поверхности и имеет штрихованные координаты. Обозначим центральное расстояние между этими двумя точками греческой буквой . Тогда теорема сложения для нормированных сферических функций выглядит так

Теперь формулу (4.18) можно переписать следующим образом

Каждое слагаемое в полученной формуле часто называют функциями Лапласа

Источник

Присоединенные полиномы лежандра таблица

Перечислим некоторые из наиболее часто применяемых полиномов и кратко рассмотрим их свойства.

1. Полиномы Лежандра (первого рода), определяемые формулой

ортогональны с весом ρ(х) = 1 на интервале — 1 1 Тn(х) стремится к бесконечности как 2 n-1 1 х n .

Рис. 14.2. Графики полиномов Чебышева
Рис. 14.2. Графики полиномов Чебышева

Рис. 14.3. Графики полиномов Чебышева четвертого порядка
Рис. 14.3. Графики полиномов Чебышева четвертого порядка

Важной особенностью полиномов Чебышева является то, что из всех многочленов степени n со старшим коэффициентом, равным единице, они наименее уклоняются от нуля на отрезке -1 1 делает эти полиномы очень эффективными для аппроксимации амплитудно-частотных характеристик различных фильтров. Этот вопрос рассматривается в гл. 15.

3. Полиномы Лагерра определяются формулой

Первые четыре полинома:

Полиномы Лагерра ортогональны на полуоси 0 -х .

Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при х → ∞ функций, удобнее пользоваться функциями Лагерра

При этом функции Лагерра ln(х) ортогональны с единичным весом. На рис. 14.4 приведены функции Лагерра при n = 1, 2, 5. Норма функции ln(х)

поэтому при разложении функции f(х) по функциям Лагерра коэффициенты ряда

должны определяться по формуле

Рис. 14.4. Функции Лагерра
Рис. 14.4. Функции Лагерра

Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что в значительной степени объясняется простотой их генерирования. Дело в том, что функция ln(t) по форме совпадает с импульсной характеристикой физической цепи, составленной из каскадного соединения простых звеньев (рис. 14.5). Для определения передаточной функции требуемой цепи применим преобразование Лапласа к функции Лагерра (14.13), предварительно заменив в (14.12), (14.13) переменную х новой переменной х = αt:

Читайте также:  Используя таблицу два постройте столбчатую диаграмму

Рис. 14.5. Генератор функций Лагерра
Рис. 14.5. Генератор функций Лагерра

Функции времени соответствует изображение а n — кратному дифференцированию — умножение изображения на р n . Учитывая также, что умножение на e αt/2 дает сдвиг на p-плоскости на величину -α/2, приходим к следующему изображению для функции Лагерра:

Передаточная функция первого звена 1/(р + α/2) реализуется интегрирующей RС-цепью, отвечающей условию RC = 2/α. Передаточная функция (р — α/2)/(р + α/2) соответствует мостовой схеме при RC = 2/α.

Действительно, непосредственно из мостовой схемы одного звена (рис. 14.5) следуют соотношения

При возбуждении цепи (рис. 14.5) дельта-функцией колебание на выходе первого звена будет а на выходах последующих звеньев соответственно l1(αt), l2(αt) и т. д.

Взвешенное суммирование всех этих колебаний дает на выходе сумматора колебание

4. Полиномы Эрмита определяются формулой

Первые пять полиномов Эрмита:

Графики этих полиномов представлены на рис. 14.6.

Рис. 14.6. Графики полиномов Эрмита
Рис. 14.6. Графики полиномов Эрмита

Полиномы Эрмита ортогональны с весом на всей оси -∞

Источник

Присоединенные функции Лежандра

Глава 1. Сферические функции

Сферические функции были введены в связи с изучением решений уравнения Лапласа, и в частности с теорией потенциала. В §1 мы рассматриваем полиномы Лежандра, которые используются затем для построения шаровых и сферических функций в §2. Сферические функции являются весьма мощным аппаратом для решения многих задач математической физики.

Полиномы Лежандра

Производящая функция и полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа , где R – расстояние от точки М до фиксированной точки М. Пусть r и r – радиусы векторы точек М и М, а — угол между ними. Очевидно можно записать

производящая функция полиномов Лежандра.

Разложим функцию в ряд по степеням :

Коэффициенты в разложение (2) являются полиномами n-й степени и называются полиномами Лежандра.

В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что

от , (перейдем в комплексную плоскость). Используя интегральную формулу Коши и производную

где С1— любой контур, окружающий точку x=z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n+1) порядка.

Из формулы (6) непосредственно видно что:

1. Получили полином степени n;

2. Полином содержит степени x той же четности, что и номер n, так что

Просмотрим граничные условия:

Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)

Рекуррентные формулы

Используя производящую функцию

и найдем частные производные по и по :

Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда относительно , подставив в нее ряд (3) для и ряд

Возьмем производную по :

m-1=n 1-a m+1=n 2-a m=1 3-a m=0 4-ая m+1=n 5-ая

m=n+1 сумма m=n-1 сумма n=m сумма m=n сумма m=n-1 сумма

n=0,1,2 n=2,3,4, n=1,2 n=0 n=1,2

Запишем коэффициенты при 0 , 1 ,…, n .

Таким образом, выражение (11) представляет собой рекуррентное соотношение.

Домножим (9) на ,(10) на ( ) и вычтем

При любом m получаем m+1=n, n=1

Продифференцируем по x соотношение (11):

Уравнение Лежандра

Найдем дифференциальное уравнение, решением которого является . Для этого исключим Pn-1 и Pn-1 из (14) и (15). Подставляем (14) в (15):

Соотношение (16) представляет собой уравнения Лежандра. Тем самым доказано что полиномы Лежандра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям , следующей задачи.

Найти такие значения λ, для которых на отрезке существуют нетривиальное решение уравнение Лежандра

с областью с условием . Таким образом нетривиальное решение существует при

Ортогональность полиномов Лежандра и их норма

Докажем что полиномам Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке . Согласно общей теореме присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму присоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность.

Читайте также:  Таблиц цен монет ссср рубли

где , . Домножим (1) на (x), а (2) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

Доказать ортогональность если . Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n) через и , а затем через и . Учитывая ортогональность полиномов , , , получим:

Рекуррентная формула для нормы:

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

который домножим на и проинтегрируем:

Система ортогональных функций называют замкнутой если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Упражнения

1. Получить полиномы Лежандра, используя производящую функцию, для n=0,1,2.

2. Получить полиномы Лежандра, используя формулу Родрига, для n=0,1,2,3,4,5.

3. Получить полиномы Лежандра, используя рекуррентную формулу для коэффициентов, для n=0,1,2,3,4,5,6.

4. Построить и исследовать (найти точки перегибов, максимумов и минимумов) полиномов Лежандра для n=0,1,2,3,4,5.

5. Получить присоединенные функции Лежандра для n, m=0,1,2,3,4. Выразить данные функции через тригонометрические функции.

6. Получить сферические функции для l=0,1,2.

7. Показать, что сферические функции ортонормированны. Ограничиться l=0,1.

8. Выполнить визуализацию сферических функций.

Присоединенные функции Лежандра

Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

Найдем собственные значения и собственные функции следующего уравнения

-1 0. Решение Соотношение (6) является решением уравнения (3)

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений , где m-целые числа (7). — присоединенная функция Лежандра

Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму и докажем ортогональность

Уменьшим n на 1:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду

Нетрудно показать, что

Сферические функции

Сферические функции

Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах:

где — угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.

Решение уравнения Лапласа:

Для определения получаем уравнения

где — константа разделения.

Для определения R(r) получаем уравнение Эйлера:

1. Функция должна быть ограничена на сфере любого радиуса.

2. Функция должна в точках , , а также .

Ограниченное решение уравнения (6) обладающее непрерывными производными до второго порядка называются сферическими функциями. Решение задачи для ищем также методом разделения переменных, полагая

Умножим на и поделим на (7)

где m-константа разделения.

Задача для имеет решение лишь при целом m, и линейно независимыми решениями являются функции и .

Функция определяется из уравнения

Если потребовать выполнение условия (11)

m- любое число m=0,1,-1,2,-2…

Выберем новую переменную и обозначая , получаем для уравнение присоединенных функций (15)

подставляем все в (10)

Полученное уравнение является уравнением для присоединенных функций Лежандра

Потребуем чтобы функции были нормированными

Уравнение (6) имеет решение (18) при собственных значениях . Найдем несколько сферических функций

Легко проверить, что сферические функции является ортонормированными, т.е. справедливо:

Кроме сферических функций используется понятие сферической гармоники которые определяется следующим образом:

число различных сферических функций n-го порядка равно 2n+1. Линейная комбинация этих (2n+1) сферических функций

Решение уравнения имеет вид:

Специфика заключается в нахождении радиальной части волновой функции R(r).

есть внутренняя краевая задача, а

есть внешняя краевая задача.

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 2586 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Adblock
detector