Меню

Построить кривую второго порядка таблица

Циркулярные кривые 2-го порядка

Как известно, кривыми Безье нельзя построить дугу окружности или эллипса. В этой статье рассматриваются кривые, лишённые такого недостатка.

Кривые Безье

Логика построения кривых Безье хорошо понятна из следующей анимации:

Чтобы получить формулу непосредственно из графического представления, достаточно определить вспомогательную функцию для линейной интерполяции между двумя точками, в которая при изменении параметра t от 0 до 1 возвращает промежуточные значения от a до b:

$mix(a,b,t) =a (1-t)+b t$

С её помощью можно последовательно найти необходимые точки — сначала найти

$ac = mix(a, c, t)$

$cb = mix(с, b, t)$

а затем уже через них найти

$d = mix(ac, cb, t)$

При желании, можно подставить функции друг в друга и сократить — хотя это особо и не упростит вычисления, зато позволит обобщить кривые на произвольное количество опорных точек (через полиномы Бернштейна). В нашем случае получим

$d = a (1-t)^2+b t^2+2 c t (1-t)$

Увеличение порядка кривых достигается тривиально — исходные точки задаются не константно, а как результат интерполяции между n+1 других контрольных точек:

Циркулярные кривые

Дуга окружности

Чтобы похожим образом построить дугу окружности, необходимо определить соответствующую логику построения — по аналогии с черчением окружности циркулем.

Изначально нам неизвестен центр окружности d — он находится через пересечение перпендикуляров к касательным в точках a и b (далее узловых); сами же касательные задаются с помощью точки c (далее направляющей). Для построения произвольной дуги окружности (меньшей 180°) достаточно, чтобы расстояния от направляющей точки до узловых были одинаковыми.

Дуга эллипса

Построить дугу эллипса уже посложнее — потребуется два вектора, вращающихся в разные стороны (подробнее здесь)

Используя озвученный выше способ нахождения точки d, мы уже не можем построить произвольную дугу эллипса — только лишь от 0° до 90° (в том числе и повёрнутую на некоторый угол).

Дуга гипотрохоиды

Задав условие, что в начале и конце черчения векторы должны лежать на одной прямой, мы получим дугу гипотрохоиды во всех остальных случаях. Это условие не случайно и (помимо однозначного определения кривой) гарантирует совпадение касательных в узловых точках. Как следствие, угловые пути, которые проходят оба вектора, станут разными, но в сумме по-прежнему будут давать 180°.

Как изменяется форма кривой в зависимости от положения направляющей точки, можно посмотреть на следующей анимации:

Алгоритм

Поскольку здесь мы имеем вращения на двумерной плоскости, математику построения этих кривых удобно описывать через комплексные числа.

1) находим точку пересечения нормалей касательных, проведённых от направляющей точки к узловым:

$d=\frac<(2 a-c) (c-b) a^*+ (2 b-c) (a-c) b^*-c (a-b) c^* data-lazy-src=

$\phi _m=\arg \left(\frac<a-d data-lazy-src=

— результат не всегда был бы корректным из-за многозначности функции аргумента.

5) последовательно изменяя t от 0 до 1 с некоторым шагом, находим принадлежащую кривой точку по формуле

$d+v \left(r_m e^<-i t \phi _m data-lazy-src=

Исходный код статьи можно скачать на GitHub.

Источник



Классификация кривых второго порядка графики формулы (Таблица)

Общее уравнение второй степени

Кривые второго порядка (конические сечения) определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно х, у имеет вид (уравнение 1):

kr 2 por 02

Инварианты

kr 2 por 03

Для любого уравнения (1) три величины являются инвариантами относительно переноса и поворота осей:

параллельный перенос осей координат kr 2 por 05
поворот осей координат kr 2 por 07
kr 2 por 09

Эти инварианты определяют свойства кривой второго порядка, не зависящие от ее положения на плоскости.

Классификация кривых второго порядка таблица

Таблица содержит классификацию кривых второго порядка, основанную на их инвариантах (смотрите выше); в этой таблице

kr 2 por 10

А’ является инвариантом относительно поворота осей (семиинвариантом).

Вырожденные (распадающиеся) кривые

Центральные кривые второго порядка

Действительная точка пересечения двух мнимых прямых (эллипс, выродившийся в точку)

Мнимый эллипс (ни одной действительной точки)

Пара мнимых параллельных прямых (ни одной действительной точки)

Источник

Примеры решений: кривые второго порядка

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $\sqrt<2/5>$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Читайте также:  Виды скелетной ткани таблица

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=\pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.

Источник

Построить кривую второго порядка таблица

Назад Оглавление Вперед
Дано уравнение кривой второго порядка . (1)
Пример:

ШАГ ПЕРВЫЙ
Если в уравнении коэффициент , т.е. присутствует слагаемое со смешанным произведением , то необходимо перейти к такой системе координат , в которой, уравнение (1) после преобразования не содержало бы слагаемое .
Это делается при помощи поворота системы координат на некоторый угол , т.е. координаты заменяются по формулам:

Значение этого угла можно найти, решив уравнение
,
или, оно же в другом виде
.

Замечание: Как правило, решением тригонометрического уравнения является группу углов, повторяющихся с определенной периодичностью. Для того, чтобы определить угол поворота для системы координат, следует выбрать любой понравившийся из полученного множества.

Замечание: Предположим, что для решения выбрано первое уравнение, но в исходной записи кривой . Неопытный человек начинает паниковать, т.к. в знаменателе оказывается ноль, а на ноль в школе делить запрещали и т.д. и т.п. Опытный же тригонометривед, знакомый с азами математического анализа и теории пределов вспомнит, что:
.

Пример:

Выберем корень уравнения с «плюсом»

Казалось бы, все хорошо, тангенс угла найден. Но в замене нужны синус и косинус! Что же делать. Следует воспользоваться тригонометрическими формулами

Знак выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол, а, так как без разницы на какой угол поворачивать систему координат, лишь бы смешанное произведение ушло, то выберем «+».

Замена:

Вывод: Слагаемых нет.

ШАГ ВТОРОЙ
На данный момент имеется: (смешанных произведений координат нет.)
Пример:

Теперь, для каждой переменной, для которой коэффициенты при квадрате и при первой степени ненулевые следует применить выделение полного квадрата:

И сделать соответствующую замену:

Уравнение примет вид:

Пример:

Замена:

Вывод: Уравнение примет вид:

ШАГ ТРЕТИЙ, ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ.

Итак, имеется уравнение

Пример:

Остались последние алгебраические преобразования:

После чего можно определять тип кривой второго порядка по таблице, приведенной на предыдущей странице.

Пример:

Это эллипс , полуоси .

Вывод:
Для того, чтобы привести кривую второго порядка к каноническому виду и определить тип кривой было сделано две замены:
1)
, которая повернула систему координат на угол
2) — сдвинувшая начало координат.
Объединим замены:

Заметим, что начало координат окончательной системы координат расположено в точке с координатами .

Источник

Adblock
detector