Меню

Неопределенный интеграл первообразная определение свойства таблица

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

п.1. Понятие первообразной

На практике промежутком \(X\) считают облать определения функции \(F(x)\).

Например:
1) Функция \(F(x)=x^2\) является первообразной для \(f(x)=2x\), т.к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).
2) Функция \(F(x)=cos⁡x\) является первообразной для \(f(x)=sin⁡x\), т.к. для любого \(x\) производная \(F'(x)=f(x)\).

п.2. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

Действительно, по правилу нахождения производной суммы: $$ (F(x)+C)’=F'(x)+C’=f(x)+0=f(x) $$ Т.е. первообразная определена с точностью до константы.

Например:
Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл
Для \(f(x)=sin⁡x\)
Первообразными будут \begin F(x)=cos⁡x,\ F(x)=cos⁡x+1, \\ F(x)=cos⁡x-2,\ F(x)=cos⁡x+0,100500 \end и т.д.

Например: $$ \int x^2 dx=\frac<3>+C,\ \ \int \frac<\sqrt>=2\sqrt+C $$

п.3. Таблица неопределенных интегралов

Пользуясь результатами, полученными для производных (см. Главу 8 данного справочника), можем составить таблицу неопределенных интегралов.

Если взять производную от функции в правом столбце, мы получаем функцию в левом столбце. В этом легко убедиться самостоятельно.

п.4. Правила нахождения первообразных

Действительно $$ \begin F'(x)=f(x)\\ G'(x)=g(x) \end \Rightarrow \left(F(x)+G(x)\right)’=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции \(y=x^5+sin⁡x\)
Это сумма двух функций \(f_1(x)=x^5,\ f_2(x)=sin⁡x\).
Соответствующие первообразные \(F_1(x)=\frac<3>,\ F_2(x)=-cos⁡x\)
Общая первообразная с учетом постоянного слагаемого:
\(F(x)=\frac<3>-cosx+C\)

Действительно $$ \left(kF(x)\right)’=kF'(x)=kf(x) $$
Например:
Найдем первообразную функции \(y=5sinx+2=5\cdot sinx+2\cdot 1\)
Первообразная для синуса \(F_1(x)=-cosx\), первообразная для единицы \(F_2(x)=⁡x\)
Общая первообразная
\(F(x)=-5cosx+2x\)

Действительно
Для \(x\) получаем цепочку отображений: \(x\rightarrow kx+b\rightarrow F(kx+b)\)
По правилу дифференцирования сложной функции (см. §45 данного справочника) \begin \left(\frac1k F(kx+b)\right)’=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot (kx+b)’=\frac1k\cdot F'(kx+b)\cdot k=F'(kx+b)=\\ =f(kx+b) \end
Например:
Найдем первообразную функции \(y=sin(5x+2) \)
Нам известно, что первообразная для \(f(x)=sin⁡x,\ F=-cos⁡x\)
При преобразовании аргумента \(x\rightarrow 5x+2\) у новой первообразной будет новый аргумент и множитель \(\frac1k=\frac15\). Получаем:
\(F(x)=-\frac15 cos(5x+2)\)

п.5. Свойства неопределенных интегралов

Свойства неопределенных интегралов являются прямыми следствиями свойств первообразных.

Например:
Найдем интеграл \(\int \left(x\sqrt+\frac<1>\right)dx\)
Подынтегральное выражение – это сумма двух функций, первообразные для которых: \begin F_1(x)=\frac><\frac32+1>=\frac><\frac52>=\frac25x^2\sqrt\\ F_2(x)=\frac12\cdot tg(2x-1) \end Получаем: \begin \int\left(x\sqrt+\frac<1>\right)dx=\frac25x^2\sqrt+\frac12 tg(2x-1)+C \end Поверим результат интегрирования дифференцированием: \begin \left(\frac25x^2\sqrt+\frac12 tg(2x-1)+C\right)’=\frac25\cdot\frac52 x^<\frac52-1>+\frac12\cdot\frac<1>\cdot (2x-1)’+0=\\ =x\sqrt+\frac<1> \end Мы получили исходную подынтегральную функцию. Результат интегрирования верный.

п.6. Примеры

Пример 1. Докажите, что функция \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\), если:
a) \(F(x)=x^2\sqrt+14sin3x\)
\(f(x)=\frac52 x\sqrt+42cos 3x\)
Найдем производную \(F'(x)\) $$ F'(x)=\frac52\cdot x^<\frac52-1>+14\cdot cos3x\cdot (3x)’=\frac52 x\sqrt+42cos3x=f(x) $$ Что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите первообразную функции, которая проходит через данную точку:
a) \(y=sinx,\ A\left(\frac\pi 3;\frac14\right)\)
Общий вид первообразных для синуса: $$ F(x)=-cosx+C $$ Чтобы найти ту первообразную, которая проходит через данную точку, нужно подставить координаты этой точки: $$ \frac14=-\cos\frac\pi 3+C\Rightarrow C=\frac14+cos\frac\pi 3=\frac14+\frac12=\frac34 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=-cosx+\frac34 $$
б) \(y=(x+2)(3x-1),\ A(0;4)\)
Получаем квадратный трехчлен: \(y=3x^2+5x-6\)
Общий вид первообразной: $$ F(x)=3\cdot\frac<3>+5\cdot\frac<2>-6\cdot x+C=x^3+2,5x^2-x+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ 4=0^3+2,5\cdot 0^2-0+C\Rightarrow C=4 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=x^3+2,5x^2-x+4 $$
в*) \(y=\frac,\ A(-2;1)\)
Выделим целую часть: \(y=\frac=\frac<(x+3)-3>=1-\frac<3>\)
Общий вид первообразной: $$ F(x)=x-3\cdot\ln(x+3)+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ 1=-2-3\cdot\ln(-2+3)+C=-2-3\cdot 0+C=-2+C\Rightarrow C=3 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=x-3\ln(x+3)+3 $$
г*) \(y=\frac,\ A\left(\frac\pi 4;\frac\pi 2\right)\)
Преобразуем тригонометрическое выражение: \(y=\frac=\frac<2cos^2x-1>=2-\frac<1>\)
Общий вид первообразной: $$ F(x)=2x-tgx+C $$ Первообразная, которая проходит через данную точку: $$ \frac\pi 2=2\cdot\frac\pi 4-tg\frac\pi 4+C=\frac\pi 2-1+C\Rightarrow C=1 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=2x-tgx+1 $$

Пример 3. Найдите неопределенный интеграл и результат проверьте дифференцированием:
a) $$ \int\left(e^x+\frac1x\right)dx=e^x+\ln|x|+C $$ Проверка: $$ (e^x+\ln|x|+C)’=e^x+\frac1x+0=e^x+\frac1x $$ Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

б) $$ \int\left(\frac1x-\frac<4>-\frac<3>\right)dx=\ln|x|-4\cdot\frac><-2+1>+3\cdot ctgx+C=\ln|x|+\frac4x+3ctgx+C $$ Проверка: $$ (\ln|x|+\frac4x+3ctgx+C)’=\frac14+4\cdot\left(-\frac<1>\right)+3\cdot\left(-\frac<1>\right)+0=\frac1x-\frac<4>-\frac<3> $$ Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

г*) \begin \int\frac<4><1-cosx>dx=\int\frac<4><2sin^2\frac x2>dx=2\int\frac=-2\cdot 2ctg\frac x2+C=-4ctg\frac x2+C \end Проверка: \begin \left(-4ctg\frac x2+C\right)’=-4\cdot\left(-\frac<1>\right)\cdot\left(\frac x2\right)’+0=\frac<4><2sin^2\frac x2>=\frac<4> <1-cosx>\end Получили подынтегральную функцию. Ответ верный.

Пример 4*. Найдите ту первообразную для функции \(f(x)=3x^3-4\), для графика которой касательной является прямая \(y=-x+2\)

Общий вид первообразной: \(F(x)=3\cdot\frac<4>-4\cdot x+C=\frac34 x^4-4x+C\)
Уравнение касательной (см. §47 данного справочника) к первообразной: $$ y=\underbrace_<=f(x_0)>(x-x_0)+F(x_0)=f(x_0)\cdot x+(F(x_0)-f(x_0)\cdot x_0) $$ По условию \( y=-x+2\Rightarrow \begin f(x_0)=-1\\ F(x_0)-f(x_0)\cdot x_0=2 \end \)
Из первого уравнения найдем абсциссу точки касания: $$ 3x_0^3-4=-1\Rightarrow 3x_0^3=3\Rightarrow x_0^3=1\Rightarrow x_0=1 $$ Тогда из второго уравнения: $$ F(x_0)=f(x_0)x_0+2=-1\cdot 1+2=1 $$ Получаем: $$ 1=\frac34\cdot 1^4-4\cdot 1+C=-3\frac14+C\Rightarrow C=1+3\frac14=4\frac14 $$ Искомая первообразная: $$ F(x)=\frac34x^4-4x+4\frac14 $$

Источник



Понятие и свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Неопределённый интеграл: 8 фактов, которые надо знать студенту

  • Первообразная функция и неопределённый интеграл
  • Геометрический смысл неопределённого интеграла
  • Свойства неопределённого интеграла
  • Таблица основных неопределённых интегралов
Читайте также:  Таблица просвещенный абсолютизм вывод

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F ‘(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной от первообразной функции F(x)..

Например, функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x)’ = (cos x) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись

где знак называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то

где C — произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция — «быть дверью». А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную.

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных («быть дверью» — «быть деревом», «быть ложкой» — «быть металлом» и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C, а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C, например, так: 5x³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Пример 1.Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.

Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

Читайте также:  Haro сиденья для унитаза таблица совместимости

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором — как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию F(x), для которой F'(x)=f(x). Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x), то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C.

рисунок геометрический смысл неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций , т.е.

Таблица основных неопределённых интегралов

Факт 8. Пользусь таблицей неопределённых интегралов, свойствами неопределённого интеграла и методами интегрирования, можно отыскать неопределённый интеграл любой функции.

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:

Источник

Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач

Первообразная

Определение 1 . Функцию F (x) , определенную на интервале (a, b), называют первообразной функции f (x) , определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство

Например, из справедливости равенства

вытекает, что функция F (x) = sin 2x является первообразной функции f (x) = 2 cos 2x .

Замечание . Функция F (x) = sin 2x не является единственной первообразной функции f (x) = 2 cos 2x , поскольку функция F (x) = sin 2x + 10 , или функция F (x) = sin 2x – 3 , или функции вида F (x) = sin 2x + c , где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2 cos 2x .

Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

Теорема 1 . Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид

где c – некоторое число.

Неопределенный интеграл

Определение 2 . Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают

Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx » .

Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.

В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.

Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где k – любое число.

Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

Правило 2 (интеграл от суммы функций) . Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 3 (интеграл от разности функций) . Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной) . Из справедливости формулы

Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция φ (x) является линейной функцией, то есть

что k и b – произвольные числа, .

Читайте также:  Кто правил русью таблица

и формула (4) принимает вид

Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

, где k – любое число

где n – любое число, не равное – 1

где n, k, b – любые числа, ,

где n – любое число,

где k, b – любые числа, ,
kx + b > 0

где k, b – любые числа,

где a – любое положительное число, не равное 1

где a – любое положительное число, не равное 1 , k, b – любые числа,

где a – любое положительное число, не равное 1

Источник

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Определение первообразной

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C .

Первообразная функции f ( x ) на промежутке ( a ; b ) это такая функция F ( x ) , при которое формула F ‘ ( x ) = f ( x ) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F ( x ) + C ‘ = f ( x ) .

Получается, что функция f ( x ) имеет множество первообразных F ( x ) + C , для произвольной константы C . Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f ( x ) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . При этом, выражение f ( x ) d x является подынтегральным выражением, а f ( x ) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f ( x ) .

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F ( x ) , а множество ее первообразных F ( x ) + C .

  • Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫ f ( x ) d x ‘ = F ( x ) + C ‘ = f ( x )

  • Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫ d ( F ( x ) ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C

  • Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫ k · f ( x ) d x = k · ∫ f ( x ) d x , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

  • Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

∫ f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k · ∫ f ( x ) d x ‘ = k · ∫ d ( x ) d x ‘ = k · f ( x ) ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ‘ = ∫ f ( x ) d x ‘ ± ∫ g ( x ) d x ‘ = f ( x ) ± g ( x )

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Найдем первообразную функции f ( x ) = 1 x , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

d ( ln x ) = ( ln x ) ‘ d x = d x x = f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = ∫ d x x = ∫ d ( ln ( x ) )

Используя второе свойство ∫ d ( ln ( x ) ) = ln ( x ) + C , мы получаем множество первообразных ln ( x ) + C . При х = 1 получим значение ln ( 1 ) + C = 0 + C = C . Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид ln ( x ) + 1 .

Ответ: f ( x ) = 1 x = ln ( x ) + 1

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2 sin x 2 cos x 2 = sin x , получим ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = ∫ sin x d x .

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

d ( cos x ) = cos x ‘ d x = — sin x d x ⇒ sin x d x = — d ( cos x )

То есть, ∫ sin x d x = ∫ ( — d ( cos x ) )

Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫ — d ( cos x ) = — ∫ d ( cos x ) .

По второму свойству получаем — ∫ d ( cos x ) = — ( cos x + C )

Следовательно, ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = — cos x — C .

Проверим полученный результат дифференцированием.

Продифференцируем полученное выражение:
— cos x — C ‘ = — ( cos x ) ‘ — ( C ) ‘ = — ( — sin x ) = sin x = 2 sin x 2 cos x 2

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = — cos x — C

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Источник

Adblock
detector