Меню

Неопределенный интеграл использование таблиц интегралов

Неопределенный интеграл использование таблиц интегралов

Что нужно знать, чтобы найти неопределённый интеграл

Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или «антипроизводных») означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F(x) + С для функции f(x) учитывает константу интегрирования C. По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки — её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование — широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.

Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.

Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям — обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

Поскольку этот урок — вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование — операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть «антипроизводной».

Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной. Это следующие формулы:

Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут быть следующие:

Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.

Находим неопределённые интегралы вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла — постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

Решение. Вновь применяем теорему 3 — свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби — одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:

Найти неопределённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти неопределённый интеграл

Пример 6. Найти неопределённый интеграл

Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов:

(мы применили обе нужные нам на этом уроке теоремы о свойствах интеграла). Все полученные интегралы – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3 и за последним знаком равенства — окончательное решение.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл

Решение. В подынтегральном выражении нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:

Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции, и окончательный ответ:

Пример 9. Найти неопределённый интеграл

Решение. В подынтегральном выражении — многочлен в степени. Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:

Интегрируем каждое слагаемое и перед нами — окончательный ответ:

Пример 10. Найти неопределённый интеграл

Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде

Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Источник



Как использовать таблицу интегралов?

Не просите маня в х найти какой-нибудь интеграл. Я не умею находить интегралы, я могу только над ними по прикалываться. Прежде, чем здесь появится таблица неопределенных интегралов, нужно представить определение неопределенного интеграла.

Прямо каламбур получился. Неопределенным интеграл называется так не потому, что определение для него никто не придумал, а потому, что с ним нельзя точно определиться. Математики меня заклюют за такое разъяснение.

Читайте также:  Природные ресурсы дальнего востока таблица кратко

Таблица интегралов

Таблица интегралов
Неопределенный интеграл и его свойства

Как видите, неопределенный интеграл представляет из себя совокупность первообразных для заданной функции. Дальше идет таблица основных неопределенных интегралов.

Таблица интегралов
Таблица основных неопределенных интегралов

Если вы любите по вечерам вместо семечек щелкать неопределенные интегралы, тогда большая таблица интегралов для вас. Если вы где-то учитесь, настоятельно рекомендую пользоваться большой таблицей интегралов в качестве ответов, которые обычно размещают в конце учебника. Помните, что вы не в детском садике и задачку без действий вам никто не задаст. Даже в задаче на одно действие между условием и ответом записывают это действие.

Вот большая таблица неопределенных интегралов. Эта таблица интегралов содержит 147 представителей этой математической фауны. Я подозреваю, что коллекция эта далеко не полная, но некоторые самые популярные виды интегралов в ней присутствуют.

Нажимаете на ссылку — откроется картинка, по виду очень похожая на размотанный рулон туалетной бумаги. Наводите курсор на эту ленту, курсор превращается в лупу со знаком «плюс», жмете. Теперь вы в царстве интегралов.

Сохранить память о столь увлекательном путешествии можно при помощи правой кнопки мыши и строчки меню «Сохранить изображение как…». Всё, Третьяковская галерея интегралов переселилась в ваш компьютер.

Это для тех, кто не любит читать всё то, что я пишу. Таблица интегралов разбита на 12 групп, все их мы рассмотрим более подробно на отдельных страницах.

Как найти неопределенный интеграл? Очень просто. Тупо берете формулу, тупо подставляете в пример. Лично я так делал. Иногда можно чего-то там перегруппировать, упростить, вынести за знак интеграла…

Название самого лучшего в мире искателя интегралов я не претендовал, о чем нисколько не жалею. Вообще, живых интегралов я за свою жизнь так и не встретил. Все они для меня вымерли, как динозавры, сразу же после окончания учебы. Да, я ещё кое-что о них помню. Только и всего.

Очень интересен каламбур, написанный буковками под таблицей основных неопределенных интегралов. На первый взгляд получается, что первообразная на первообразной сидит и первообразной погоняет. Ясно, что записанное выражение и дураку понятно.

Но бывают ещё и особо одаренные представители рода человеческого, типа меня. У меня просто мозги отключаются, когда я вижу или читаю подобные фразы. Наверное, инстинкт самосохранения срабатывает — мозг боится собственного вывиха.

Долго вспоминал, где у меня лево, где право. Через пару дней напряженной умственной работы, я пришел к выводу, что в левой части описывается ситуация, когда мы точно знаем, от какой первообразной функции мы получили производную.

В правой части мы пытаемся угадать, какой первообразной функции принадлежит производная. На динозаврах это гораздо понятнее. Если у нас есть живой динозавр, то мы точно знаем, как он выглядит, и точно можем сказать, как через десятки миллионов лет будут выглядеть его останки.

Но вот когда мы сегодня находим останки динозавров, мы не можем точно сказать, как они выглядели — окраску, голос, запах по останкам определить не возможно. Знак равенства стоит на том основании, что из всех возможных вариантов один точно правильный.

В отличии от динозавров, математические функции математики представляют в абстрактном виде, вне времени — одновременно и настоящее, и будущее, и прошлое. Теперь эта же мысль, но языком математических формул. Используем определение и свойства неопределенных интегралов. Возьмем первообразную функцию с константой и посмотрим, что происходит.

Таблица интегралов
Первообразная функция

Здесь на первое место выступает порядок выполнения математических действий. Если мы сперва дифференцируем первообразную функцию, то константа теряется. После интегрирования её нужно восстанавливать для сохранения равенства.

Если применить свойства неопределенного интеграла и взаимно сократить интегрирование и дифференцирование, то первообразная останется в своем первоначальном виде, с константой. Здесь получается фокус с тузом в рукаве.

В определении неопределенного интеграла константа является частью первообразной функции F(x) и отдельно не выделяется — туз спрятан в рукаве. После интегрирования мы добавляем константу, потерявшуюся при дифференцировании — туз достаем из рукава на всеобщее обозрение.

В этом случае главным является не сам фокус, а факт присутствия туза у фокусника как до, так и после демонстрации трюка. Что такое константа? Это число. Геометрически при помощи изменения константы можно сместить график функции F(x) вдоль оси игреков вниз или вверх.

В определении неопределенного интеграла указано, что совокупность всех этих первообразных и представляет из себя этот злополучный интеграл. Но это только одна сторона медали. В определении не указывается, что вся совокупность первообразных рассматривается в одной, кем-то когда-то выбранной, системе координат.

А если мы выберем одну первообразную, тогда изменение константы будет смещать систему координат. С точки зрения выбранной первообразной, неопределенный интеграл — это совокупность всех систем координат, в которых может рассматриваться данная первообразная функция.

Чудеса относительности. Если мы сидим попой на поверхности Земли, то мы видим, как Солнце бегает по небу. Если мы сидим попой на Солнце (не бойтесь поджариться, ведь математика — абстрактная наука и позволяет сидеть на чем угодно), то мы видим, как Земля вращается вокруг собственной оси.

Всё зависит от выбранной нами точки зрения, что в математике соответствует выбору системы координат. С учетом относительности влияния константы на сладкую парочку «функция — система координат», первое предложение в определении неопределенного интеграла можно записать так:

Неопределенный интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции или совокупность всех систем координат данной первообразной функции.

Не знаю, как посмотрят на такое развитие сюжета математики, но получилось слишком заумно. Всё это дело можно упростить, если отказаться от пыток восстановить константу в первообразной функции. Ещё раз проконтролируем свои действия.

Если у нас есть первообразная функция с константой или без, мы можем точно сказать, как выглядит её производная. Если у нас есть производная, мы не можем точно сказать, от какой именно первообразной она получена.

Всё дело заключается в том, что при взятии производной происходит изменение системы координат. Если мы рассматриваем производную f(x) в измененной системе координат, то восстановить первоначальную систему координат первообразной функции F(x) невозможно.

Нельзя воскресить мертвое. Вместо математической точности у нас получается гадание на кофейной гуще. И это гадание выражается в прибавлении константы к скелету первообразной функции. Задачу эту можно решить на уровне задних парт третьего класса.

Почему задних парт? Они находятся дальше всех от испепеляющего светоча знаний, льющегося с классной доски. Почему третьего класса? У них ещё не выработан благоговейный трепет перед учебниками. Просто начинаем фантазировать. Придумываем какое-нибудь новое определение и при помощи него разруливаем ситуацию.

Читайте также:  Омонимичные самостоятельные части речи и союзы таблица

Функция в собственной системе координат Fo(x) — это функция, у которой константа приравнивается к нулю. Так сказать, функция в собственном соку. Классическим примером функций в собственной системе координат можно считать тригонометрические функции. При изучении они рассматриваются без константы.

Поскольку определение неопределенного интеграла уже написано и правила хорошего тона настоятельно не рекомендуют его рихтовать, придумаем еще одно определение какой-нибудь промежуточной фигни. Пусть эта фигня будет называться «определенная первообразная«. Теперь берем определение неопределенного интеграла и на его основе пишем свое определение определенной первообразной.

Определенная первообразная для функции f(x) — это первообразная данной функции в собственной системе координат Fo(x). Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) — её первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a меньше x меньше b

Таблица интегралов
Определенная первообразная

От определенной первообразной можно двигаться налево к неопределенному интегралу путем добавления константы или направо к определенному интегралу путем обозначения пределов интегрирования. Выглядит это приблизительно так.

Таблица интегралов
Свойства определенной первообразной

В геометрическом смысле определенная первообразная является формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f(x) и прямой х=х. В последнем равенстве с левой стороны находится просто буква икс, обозначающая переменную, с правой стороны — её численное значение.

Дальше ещё несколько слов о константе в неопределенном интеграле. При дифференцировании функции константа превращается в ноль. В математике существует первая, вторая, третья и так далее, производные. Можно предположить, что столько же существует и неопределенных интегралов. Берем результат интегрирования и снова интегрируем. Вот что может получиться…

Ветхий Завет от Матана.

Вначале ничего не было. Потом было слово. Точнее, два слова — Неопределенный Интеграл. И создал Неопределенный Интеграл константу. А потом Он создал переменную. И стала переменная плюс константа. А потом Неопределенный Интеграл создал…

Таблица интегралов
Первообразная константы

Вот так и появился этот мир, в котором мы живем. Аминь. Пардон, плюс константа. Если вас не устраивает такая история сотворения мира, эти же формулы можно трактовать как историю Большого Взрыва. Ведь ученые уверяют, что началось всё с точки, то есть с нуля.

Сергей Манулов, давний друг этого сайта, предлагал мне опубликовать в одной таблице интегралы рядом с производными. Так действительно будет нагляднее и понятней. Но здесь есть два момента. Во-первых, таблица получится такой широкой, что в этот сайт явно не влезет.

Во-вторых, насколько я помню, таблица производных несколько меньше, чем таблица интегралов. Ну не любят математики играть в производные.

Кого интересует исследование всяких каракуль, пусть даже и обличенных в математические формулы? А вот игры в интегралы среди математиков очень даже популярны. По своей популярности они могут уступать разве что играм в комплексные числа.

Наверное, так получается потому, что при помощи определенных интегралов можно находить площади криволинейных трапеций или что-то там ещё. Математики играют в свои любимые игрушки и вроде как полезным делом заняты.

Что нужно помнить о неопределенных интегралах? Как молитва заканчивается словом «Аминь», так любой неопределенный интеграл заканчивается словами «плюс константа».

Источник

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F ( x ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C и ∫ k · f ( x ) d x = k · ∫ f ( x ) d x можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Постоянная y = C

Степенная функция y = x p .

( x p ) ‘ = p · x p — 1

Постоянная y = C

d ( C ) = 0 · d x

Степенная фунция y = x p .

d ( x p ) = p · x p — 1 · d x

Показательная функция y = a x .

( a x ) ‘ = a x · ln a

В частности при a = e имеем y = e x

Показательная функция y = a x .

d ( a x ) = a x · ln α · d x

В частности при a = e имеем y = e x

d ( e x ) = e x · d x

Логарифмические функия y = log a x .

log a x ‘ = 1 x · ln a

В частности при a = e имеем y = ln x

Логарифмические функия y = log a x .

d ( log a x ) = d x x · ln a

В частности при a = e имеем y = ln x

d ( ln x ) = d x x

Тригонометрические функции.

sin x ‘ = cos x ( cos x ) ‘ = — sin x ( t g x ) ‘ = 1 c o s 2 x ( c t g x ) ‘ = — 1 sin 2 x

Тригонометрические функции.

d sin x = cos x · d x d ( cos x ) = — sin x · d x d ( t g x ) = d x c o s 2 x d ( c t g x ) = — d x sin 2 x

Обратные тригонометрические фунции.

a r c sin x ‘ = 1 1 — x 2 a r c cos x ‘ = — 1 1 — x 2 a r c t g x ‘ = 1 1 + x 2 a r c c t g x ‘ = — 1 1 + x 2

Обратные тригонометрические фунции.

d a r c sin x = d x 1 — x 2 d a r c cos x = — d x 1 — x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = — d x 1 + x 2

Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f ( x ) = x p .

Согласно таблице дифференциалов d ( x p ) = p · x p — 1 · d x . По свойствам неопределенного интеграла имеем ∫ d ( x p ) = ∫ p · x p — 1 · d x = p · ∫ x p — 1 · d x = x p + C . Следовательно, ∫ x p — 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0 .Второй вариант записи выглядит следующим образом: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ — 1 .

Примем равным — 1 , найдем множество первообразных степенной функции f ( x ) = x p : ∫ x p · d x = ∫ x — 1 · d x = ∫ d x x .

Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d ( ln x ) = d x x , x > 0 , следовательно ∫ d ( ln x ) = ∫ d x x = ln x . Поэтому ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , p ≠ — 1 ∫ 0 · d x = C ∫ a x · d x = a x ln a + C , a ≠ 1 ∫ e x · d x = e x + C ∫ d x x = ln x + C ∫ cos x · d x = sin x + C ∫ sin x · d x = — cos x + C ∫ d x cos 2 x = t g x + C ∫ d x sin 2 x = — c t g x + C ∫ d x 1 — x 2 = a r c sin x + C ∫ d x 1 + x 2 = a r c t g x + C ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a a r c t g x a + C ∫ d x a 2 — x 2 = a r c sin x a + C ∫ d x x 2 — a 2 = 1 2 a ln x — a x + a + C ∫ d x x 2 ± a 2 = ln x + x 2 ± a + C ∫ d x sin x = ln 1 — cos x sin x + C ∫ d x cos x = ln 1 + sin x cos x + C

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования ∫ f ( k · x + b ) d x = 1 k · F ( k · x + b ) + C , а также свойства неопределенных интегралов ∫ k · f ( x ) d x = k · ∫ f ( x ) d x ∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Решение

Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3 :

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x

Используем данные из таблицы первообразных: 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x = 3 ( 1 · x + C 1 — cos x + C 2 ) = = п у с т ь 3 С 1 + С 2 = С = 3 x — 3 cos x + C

Ответ: ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x — 3 cos x + C .

Необходимо найти множество первообразных функции f ( x ) = 2 3 4 x — 7 .

Решение

Используем таблицу первообразных для показательной функции: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Это значит, что ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Используем правило интегрирования ∫ f ( k · x + b ) d x = 1 k · F ( k · x + b ) + C .

Получаем ∫ 2 3 4 x — 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x — 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x — 7 ln 2 + C .

Ответ: f ( x ) = 2 3 4 x — 7 = 4 3 · 2 3 4 x — 7 ln 2 + C

Читайте также:  Таблица то для санта фе

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».

Источник

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Что нужно знать, чтобы найти неопределённый интеграл

Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или «антипроизводных») означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F(x) + С для функции f(x) учитывает константу интегрирования C. По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки — её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование — широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.

Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.

Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям — обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

Поскольку этот урок — вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование — операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть «антипроизводной».

Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной. Это следующие формулы:

Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут быть следующие:

Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.

Находим неопределённые интегралы вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла — постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

Решение. Вновь применяем теорему 3 — свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби — одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:

Найти неопределённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти неопределённый интеграл

Пример 6. Найти неопределённый интеграл

Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов:

(мы применили обе нужные нам на этом уроке теоремы о свойствах интеграла). Все полученные интегралы – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3 и за последним знаком равенства — окончательное решение.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл

Решение. В подынтегральном выражении нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:

Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции, и окончательный ответ:

Пример 9. Найти неопределённый интеграл

Решение. В подынтегральном выражении — многочлен в степени. Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:

Интегрируем каждое слагаемое и перед нами — окончательный ответ:

Пример 10. Найти неопределённый интеграл

Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде

Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Источник

Adblock
detector