Меню

Корни производной функции бесселя таблица



Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Корень — функция — бессель

Корни функции Бесселя ( kca) mn приведены в табл. 4.1. Поскольку kc для данной граничной частоты растет с увеличением относительной диэлектрической проницаемости е / е0, для удовлетворения условия / ( kca) 0 [ или / ( kca) 0 ] при данном типе колебаний необходимы меньшие значения радиусов волноводов а. Если места недостаточно, как в случае применения дьюара, то можно использовать волновод, заполненный тефлоном. Гребневой волновод также может быть использован ( стр. [1]

Я — корни функции Бесселя Jo ( Xm) / i () 0; а — радиус контактного пятна; Ь — радиус цилиндрического контакта; р г — относительная магнитная проницаемость среды; ло — магнитная постоянная. [2]

При 0 это уравнение определяет корни функций Бесселя . [3]

При / 5 0 это уравнение определяет корни функций Бесселя . [4]

При [ 5 0 это уравнение определяет корни функций Бесселя . [5]

Ниже в таблице приводятся значения первых шести корней функций Бесселя . [6]

При ( 5 — 0 это уравнение определяет корни функций Бесселя . [7]

Бесселя нулевого и первого порядков, Хп — корни функции Бесселя нулевого порядка . [8]

Для справочных целей приведем табл. 7.1, 7.2 наиболее часто встречающихся в расчетах корней функций Бесселя и их производных. [9]

Для справочных целей приведем табл. 7.1, 7.2 наиболее часто встречающихся в расчетах корней функций Бесселя и их производных. [10]

Индекс п указывает порядок функции Бесселя в формулах (3.33) — (3.35), а индекс т — номер корня функции Бесселя . [11]

Бесселя первого рода; Г0, — Г0 — функции Бесселя мнимого аргумента; Сп — коэффициент Фурье; Хт — корни функций Бесселя ; ch — гиперболический косинус. [12]

Тос — температуры на стенке и по оси колонны; Гн — начальная температура; / — функция Бесселя; Mi — корень функции Бесселя ; Fu — критерий Фурье. [13]

Однозначная связь индексов модуляции с длиной волны излучения и амплпт дои колебания позволяет легко и точно определять эти амплитуды по таблицам значений корней функций Бесселя . Применение фотоэлектрических преобразователен позволило использовать функцию Бесселя первого порядка при подключении к вы ходу фотопреобразователя узкополосного фильтра с центральной частотой, настрой-ной на частоту колебания объекта. [15]

Источник

Функция Бесселя

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

x^2 \frac<d^2 y data-lazy-src=

 J_\alpha(x) = \sum_<m=0 data-lazy-src=

Если α не является целым числом, функции Jα(x) и J − α(x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если α целое, то верно следующее соотношение:

J_<-\alpha data-lazy-src=

Свойства

Асимптотика

Для функций Бесселя известны асимптотические формулы. При маленьких аргументах (0 < x \ll \sqrt<\alpha + 1 data-lazy-src=

где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а Γ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов () формулы выглядят так:

J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt<\frac<2 data-lazy-src=

Бесселя функции — Функции Бесселя в математике семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α произвольное действительное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя функции целых… … Википедия

Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя: Интегральное выражение функции Ангера: где функция Бурже. При целых функция Ангера совпадает с функцией Бе … Википедия

Функция sinc(x) — Функция sinc(x) … Википедия

Функция Струве — Функция Струве неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя: Интегральное выражение функции Струве: Разложение в ряд … Википедия

Функция Макдональда — Модифицированные функции Бесселя это функции Бесселя от мнимого аргумента. Если в дифференциальном уравненни Бесселя заменить на , оно примет вид Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя … Википедия

БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка: илц в самосопряженной форме: Число v наз. индексом Б. у.; величины в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма уравнения (1): Б … Математическая энциклопедия

БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ — цилиндрические функции1 го рода. Б. ф. .индекса рможет быть определена рядом сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения. При действительных положительных значениях аргумента и индекса (… … Математическая энциклопедия

Источник

Уравнение Бесселя и цилиндрические функции

При рассмотрении электромагнитных полей в областях с симметрией кругового цилиндра встречается обыкновенное дифференциальное уравнение вида

которое называется уравнением цилиндрических функций, или уравнением Бесселя n-го порядка. Приведем некоторые сведения о его решениях – цилиндрических функциях.

Тригонометрические и экспоненциальные функции являются решениями дифференциального уравнения

которое при некоторых ограничениях можно рассматривать как предельную форму уравнения Бесселя при x → ∞. Сходство этих уравнений помогает понять роль цилиндрических функций в разных задачах, а также их взаимные соотношения. Частным решениям второго уравнения cos x, sin x соответствуют следующие частные решения уравнения Бесселя:

Jn(x) – функция Бесселя n–го порядка,

Nn(x)– функция Неймана n –го порядка.

Точно так же частным решениям e ix , e — ix соответствуют частные решения уравнения частные решения уравнения Бесселя:

H (1) n(x) – функция Ханкеля 1-го рода n–го порядка,

H (2) n(x)– функция Неймана 2-го рода n –го порядка.

На рис. 8.1 приведены графики некоторых из цилиндрических функций. Подобно тому, как e ix =cosx+isinx и e – ix =cosx–isinx, имеют место соотношения

Цилиндрические функции не являются периодическим (как, например, тригонометрические функции вещественного аргумента), однако это «осциллирующие», колеблющиеся функции. Функции Jn(x) и Nn(x) с возрастанием положительного x принимают значения, колеблющиеся около нуля с монотонно убывающей амплитудой. Их графики создают впечатление деформированных тригонометрических кривых. Полезно помнить, что

J(0) = 1, Jn(0) = 0, n ≠ 0

Подобно общим решениям y = A cos x + B sin x и y = Pe – ix + Q e ix имеются общие уравнения Бесселя в виде:

Обычно требуется, чтобы решение задачи удовлетворяло условию ограниченности ‌‌ y ‌ (2) (x) и Hn (1) (x) – экспоненциальные

Употребленный здесь символ 0(. ) означает величину, убывающую при x → ∞ как функция, заключенная в скобки (в данном случае 1/x 3/2 ).

Степенные ряды; представления функций малого аргумента. Функции Бесселя представляются степенными рядами вида:

В частности (учитывая, что 0! = 1),

Поэтому при ‌‌ x ‌‌ n Zn(x).

При дифференцировании цилиндрических функций пользуются соотношениями:

Для n = 0 и n = 1 получаем:

Таблицы корней. Корни уравнения

это значения аргумента функции Jn(x), при которых она обращается в нуль. Эти числа используются при анализе электромагнитного поля. Обозначая их Bnm, приведем следующую таблицу:

Таблица 3.1

(n – порядок функции, m – номер корня)

Точно так же важны корни производной функции Бесселя

которые обозначены Anm и сведены в таблицу:

Источник

Функции Бесселя (Бесселевые или цилиндрические функции), страница 2

Важной особенностью функций Бесселя является увеличение с ростом v промежутка , на котором функция Бесселя близка к нулю.

Как и для других специальных функций, важную роль в их изучении играют производящие функции. Так, например, если разложить функцию комплексной переменной z и вещественной t в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки z = 0, то получим

Полагая и записывая условия равенства комплексных чисел, получим два важных для практики разложения:

откуда следует, что

Пользуясь тем, что

Если заменить в этих выражениях на , то получим

Эти разложения носят имя Якоби, впервые их получившего.

Умножая левую и правую части первого равенства (6.17) на , а вторую на и интегрируя от 0 до , получим:

Складывая эти равенства, находим, что при любом п:

Этот интеграл, который можно рассматривать как интегральное представление функции Бесселя с целым значком, называется интегралом Бесселя. При п = 0 интеграл Бесселя обращается в интеграл Парсеваля:

Во многих задачах оказываются полезными теоремы сложения для бесселевых (цилиндрических) функций, простейшей из которых является следующая.

Пусть – стороны треугольника, приведенного на рис.6.11, а и – его углы, лежащие против сторон и , так, что в соответствии с теоремами косинусов и синусов
и .

Тогда для имеет место разложение вида

называемое формулой Неймана, где

При l = j с учетом того, что J k( x) = j k I k( x), k = 0, 1, 2, …, получим:

Для произвольного значка v теоремы сложения для J v( R) и I v( R) примут вид:

Нули цилиндрических функций и разложение функций в ряды Фурье-Бесселя.

Как уже отмечалось выше, нули базовой или материнской функции определяют масштабный коэффициент при построении базисной системы на основе функций Бесселя. Рассмотрим уравнение . Корни этого уравнения называются нулями функции Бесселя и обозначаются как

Нули функций Бесселя и перемежаются. Можно показать [14], что система функций , где – n-й корень уравнения , ортогональна на промежутке с весом x, т. е.

Так как нули соседних по индексу функций Бесселя перемежаются, то .

Если функция f( x) кусочно-непрерывна и обладает ограниченным изменением в любом интервале ( c, d), удовлетворяющем условию 0 c d a, и существует интеграл , то ряд Фурье–Бесселя

Приведем пример использования функций Бесселя в различных задачах.

Спектр частотномодулированного (ЧМ) колебания при гармоническом законе модуляции.

Найдем спектр сигнала, мгновенная частота которого равна

, где – девиация частоты, – несущая частота, – частота модуляции. Так как фаза колебания , то в нашем случае
. Отношение называется индексом модуляции. Как мы увидим из дальнейшего, именно он определяет структуру спектра ЧМ колебания при гармоническом законе модуляции. Произвольную постоянную – начальную фазу без потери общности можно положить равной нулю. Таким образом, исследуемый сигнал имеет вид:

где – амплитуда колебания.

Используя известную формулу

Применяя разложения (6.17) и упомянутую выше тригонометрическую формулу, получим окончательное выражение для спектра ЧМ колебания при гармоническом законе модуляции:

Таким образом, спектр исследуемого сигнала имеет дискретный характер, причем амплитуды гармоник определяются номером n и индексом модуляции. Учитывая осциллирующий характер поведения функций Бесселя, отметим что при изменении индекса модуляции меняются соотношения между амплитудами гармоник.

Обращаясь к рис. 6.9, нетрудно заметить, что при отличными от нуля будут лишь функции , и , напомним что и отличаются только знаком. Таким образом, при

Если к этому добавить, что при можно полагать и , то окончательно получим:

Источник

Adblock
detector