Меню

Как выучить таблицу углов

Как легко запомнить табличные значения тригонометрических функций

Всегда найдутся ученики, у которых есть проблемы с запоминанием табличных значений тригонометрических функций. Все дети разные. У одних хорошо запоминается логически построенная система знаний. Другие опираются на зрительные образы.

В первом случае хорошо работает мнемонический способ запоминания значений тригонометрических функций. Легко увидеть закономерность: у синусов в числителях — корни целых последовательных чисел от нуля до четырех, в знаменателе — всегда число 2. У косинусов значения записываются в обратном порядке.

Из чисел 0, 1, 4 квадратный корень легко извлекается, получаем рациональные числа.

Образ числовой окружности помогает ученикам с развитой зрительной памятью. Чтобы легче запомнить, что значения sin α находим на оси Оу, а значения соs α — на оси Ох, применяем ассоциативный прием. Ученики придумывают подсказку — какое-нибудь слово, которое позволит «привязать» косинусы к оси Ох, а синусы — к оси Оу. Например, слово «коса» позволяет объединить косинус и ось абсцисс.

Далее рассматриваем две системы координат: прямоугольную (которая позволяет найти значения sin α и соs α) и криволинейную (которая позволяет найти значения углов).

Уточняем положительное направление — против часовой стрелки и отрицательное направление — по часовой стрелке).

Ученики должны знать, где на единичной окружности находятся углы, для которых находим значения синуса и косинуса.

На оси Ох находим точку пересечения единичной окружности и оси Ох — начальную точку. В криволинейной системе координат эта точка соответствует углу 0 радиан (0 0 ). В прямоугольной системе координат находим значения sin0= 0 и cos0= 1.

Чтобы на окружности найти точку, соответствующую углу π /3 (60 0 ), на оси Ох находим точку с абсциссой ½ и проводим прямую, перпендикулярную оси Ох. Эта прямая пересекает окружность в точках, соответствующих углам π /3 и — π /3.

Чтобы на окружности найти точку, соответствующую углу π /6 (30 0 ), на оси Оу находим точку с ординатой ½ и проводим прямую, перпендикулярную оси Оу. Эта прямая пересекает окружность в точках, соответствующих углам π /6 (30 0 ) и 5π /6 (150 0 ).

Чтобы на окружности найти точку, соответствующую углу π /4 (45 0 ), проводим биссектрису I координатного угла.

Глядя на единичную окружность, легко заметить, что точки, симметричные относительно оси Ох, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Поэтому синусы противоположных углов противоположны, а косинусы этих углов равны.

Точки, симметричные относительно оси Оу, имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы. Поэтому косинусы этих углов противоположны, а синусы равны. Другими словами:

  • синусы углов равны, если сумма углов равна 180 0 ;
  • косинусы углов противоположны, если сумма углов равна 180 0 .

Точки, симметричные относительно начала координат, имеют противоположные координаты. Поэтому углы, которые расположены диаметрально противоположно на окружности, имеют противоположные значения синусов и косинусов.

Читайте также:  Размерная таблица для детской обуви сказка

А также видим, что синусы и косинусы острых углов равны, если сумма углов равна 90 0 .

Рассматривая эти особенности, закрепляем также знания и по темам «Формулы приведения», «Четность функции».

Значения тангенсов и котангенсов углов находим, используя данные таблицы, по формулам tgα = sinα / cosα, сtgα = cosα / sinα.

Полезно запомнить расположения оси тангенсов и котангенсов для нахождения значения тангенсов и котангенсов углов, решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Эти методы помогают моим ученикам легко вспоминать или находить табличные значения тригонометрических функций. Надеюсь, что они помогут и другим учащимся.

Источник



Тригонометрия за 5 минут! Тригонометрические функции и тригонометрический круг простыми словами

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

  • Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
  • Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
  • Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
  • Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

  • s
  • r
  • c
  • r
  • s
  • c
  • c
  • s

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций для первой четверти круга (0° – 90°)

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Читайте также:  Заполнить таблицу виды памяти принципы формирования пример

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет

  • 90°
  • 180°
  • 1
  • 2

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Источник

Как запомнить тригонометрический круг?

Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.

На нем есть \(16\) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи , можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).

круг со значениями пи круг со всем градусами

На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь ).

Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?

Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную — осью синусов, так как:

— косинус равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус равен ординате точки на числовой окружности.

Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).

положительные и отрицательные части оси синусов и косинусов

Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен \(1\), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.

1 на осях синусов и косинусов

стандартные точки на осях тангенсов и котангенсов

Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.

положительные части оси тангенсов и котангенсов

Шаг 4. Значение «\(1\)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, \(-1\) находятся на одном уровне с \(-1\) на оси синусов и косинусов.

1 и -1 на осях тангенса и котангенса

Шаг 5. Дальше стоит понять, что \(±\frac<1><\sqrt<3>>\) находится ближе к \(0\), чем \(±\sqrt<3>\).

1 деленное на корень из 3 на осях

Шаг 6. \(±\sqrt<3>\) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.

корень из 3 на осях тангенса и котангенса

Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(36\sqrt<6>\, tg\,\frac<π> <6>sin⁡\,\frac<π><4>\).
Решение:

Источник

Как выучить таблицу углов

Тригонометрия. Этот раздел не любят практически все дети. Огромное количество тригонометричесих формул, которые никак не запоминаются, да еще и таблицы значений sin, cos, tg и ctg. Да и вообще, хочется отметить, что большинство совремнных детей очень ленивы и особо напрягать свои мозговые извилины они не хотят. Да, да, это я о вас, дорогие учащиеся. Хочу открыть один большой секрет, в математике не все так страшно как кажется. Первое и одно из главных, что необходимо понимать — основы тригонометрии необходимо знать любому человеку, так как с ней часто приходится сталкиваться в обыденной жизни. Бонально, но это так. С тригонометрией мы встречаемся в навигации и даже в медицине и биологии. Поэтому знать хотябы самое элементарное из этого курса должен каждый человек.

Читайте также:  Экосистема лиственного леса таблица

Все очень просто

Таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса все учителя математики заствяляют учить. Тем более, что в ОГЭ и ЕГЭ по математике включены задания, проверающие знания учащихся в области тригонометрии. Конечно, эту таблицу можно просто сидеть и каждый день зубрить, в результате чего в течение недели, а может быть двух она в голове останется. Потом ее еще нужно периодически повторять, чтобы к экзамену, она из головы не вылетела.

Существует и другой вариант ее запоминания. Во-первых, если посмотреть внимательно на таблицу, то можно заметить, что значение синуса и косинуса угла в 45º одинаковое. В-вторых, значение синуса угла 0º равно значению косинуса угла 90º , а значение косинуса угла 0 º равно значению синуса угла 0º. Теперь поговорим про углы в 30º, 45º, 60º. В значениях синуса и косинуса этих углов везде есть дробь, знаменатель которой равен 2. А в числителе расположены числа от 1 до 3, причем 2 и 3 стоят под знаком корня. Разница лишь в том, что в значениях синуса числа, находящиеся в числителе распологаются в порядке врастания, а в значениях косинуса — в порядке убывания. В результате, на экзамене, всегда можно начертить таблицу значений синусов и косинусов углов.

Если посмотреть на значения тангенса и котангенса, здесь тоже все просто. Значения тангенса и котангенса для угла в 45º одинаковое и равно 1. А дальше по диагоналям:по диагонали справа на лево значение равно корню из 3, а слева на право дроби, в которой числитель — корень из 3, а знаменатель — 3. Значения тангенса и котангенса для углов 0º и 90º запоминаются так же, как и значения синуса и косинуса этих углов.

Для углов 180º, 270º и 360º значения расположены в шахматном порядке. Вот так легко и просто можно запомнить талицу.

Источник

Adblock
detector