Меню

Интегралы с экспонентой таблица

Список интегралов от экспоненциальных функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования.

\int e^<cx data-lazy-src=

Список интегралов — Смотрите следующие страницы для списка интегралов: Список интегралов элементарных функций Список интегралов от рациональных функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Список интегралов от… … Википедия

Экспонента — У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения). График экспоненты. Касательная в нуле у функции … Википедия

Источник



Таблица основных неопределенных интегралов

Главные интегралы, которые должен знать каждый студент

Перечисленные интегралы — это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.

Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!

Интеграл от константы


Интегрирование степенной функции

В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 ) (7)

Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций

Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0, a ≠ 1 ) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базовые интегралы от тригонометрических функций

Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен «минус косинусу», а вот интеграл от cosx равен «просто синусу»:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям

Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) — частный случай (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C ( a ≠ 0 ) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C ( a > 0 ) (19)

Более сложные интегралы

Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C ( a > 0 ) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C ( a > 0 ) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C ( a > 0 ) (24)

Общие правила интегрирования

1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x (25)

Читайте также:  Таблицы времени для сварки пнд труб

2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x (26)

3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ C f ( x ) d x = C ∫ f ( x ) d x (27)

Легко заметить, что свойство (26) — это просто комбинация свойств (25) и (27).

4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f ( A x + B ) d x = 1 A F ( A x + B ) + C ( A ≠ 0 ) (28)

Здесь F(x) — первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.

Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:

∫ f ( x ) g ( x ) d x = ? ∫ f ( x ) g ( x ) d x = ? (30)

Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ «борьбы» с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже «школьные» формулы алгебры или тригонометрии.

Простой пример на вычисление неопределенного интеграла

Воспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:

x 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.

Сводная таблица интегралов

∫ A d x = A x + C
∫ x d x = x 2 2 + C
∫ x 2 d x = x 3 3 + C
∫ 1 x d x = 2 x + C
∫ 1 x d x = ln | x | + C
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 )
∫ e x d x = e x + C
∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0, a ≠ 1 )
∫ s h x d x = c h x + C
∫ c h x d x = s h x + C
∫ sin x d x = − cos x + C
∫ cos x d x = sin x + C
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C ( a ≠ 0 )
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C ( a > 0 )
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C ( a > 0 )
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C ( a > 0 )
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C ( a > 0 )


Скачайте таблицу интегралов (часть I) по этой ссылке


Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке

Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!

Источник

Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов

Табличные интегралы для занятий по математическому анализу. В помощь студентам первых курсов технических, экономических и математических ВУЗов, преподавателям и репетиторам по математике.

Неопределенных интегралы от основных функций.

1. Интеграл от степенной функции

2. Интеграл от константы

3. Интеграл от синуса

Читайте также:  Таблица слогов русского языка для чтения

4. Интеграл от косинуса

5. Интеграл от экспоненты

6. Интеграл от показательной функции

7. Интеграл от обратной пропорциональности

8.Интеграл, равный тангенсу

9. Интеграл, равный котангенсу

10. Интеграл от тангенса

11. Интеграл от котангенса

12. Интеграл, равный арксинусу

13. Интеграл, равный минус арккосинусу

14. Интеграл от секонса

15. Интеграл от косеконса

16. Интеграл, от обратной величины к разности квадратов

17. Полезный интеграл, сводящийся к арксинусу

18. Полезный интеграл, сводящийся к арктангенсу

19. Интеграл, сводящийся к натуральному логарифму

Комментарий репетитора по математике: к табличным обычно относят простейшие интегралы, в записи которых участвуют элементарные (основные) функции математического анализа. Табличные интегралы можно использовать для вычисления любых других интегралов (типовых или сложных) на любом этапе реализации алгоритма их нахождения. Техника интегрирования допускает следующий план: как только вам встетился табличный интеграл — применяйте его без каких-либо доказательств или вывода.

Интегралы расположены в порядке роста уровня сложности их вывода и частоте использования в решении задач. Удачи в совершенствовании умения вычислять интегралы.

Колпаков А.Н., профессиональный репетитор по математике в Москве. Строгино, м. Щукинская.

Источник

Таблица первообразных («интегралов»). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Таблица первообразных («интегралов»). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл степенной функции.

Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.

Интеграл сложной экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.

Интеграл : «Длинный логарифм».

Интеграл : «Длинный логарифм».

Интеграл : «Высокий логарифм».

Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),
в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.

Интеграл : «Высокий логарифм».

Интеграл, равный тангенсу.

Интеграл, равный котангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл равный косекансу.

Интеграл, равный секансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арккосекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому секансу.

Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.

Интегрирование произведения (функции) на постоянную:

Интегрирование суммы функций:

Формула интегрирования по частям

неопределенные интегралы:

Формула интегрирования по частям

определенные интегралы:

Формула Ньютона-Лейбница

определенные интегралы:

Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно.

Источник

Adblock
detector