Меню

Формулы системы счисления таблица



Уроки 2 — 5
§ 1.1. Системы счисления

Ключевые слова:

• система счисления
• цифра
• алфавит
• позиционная система счисления
• основание
• развёрнутая форма записи числа
• свёрнутая форма записи числа
• двоичная система счисления
• восьмеричная система счисления
• шестнадцатеричная система счисления

1.1.1. Общие сведения о системах счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

1) унарная система;
2) непозиционные системы;
3) позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:

Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, — пример позиционной системы счисления. Алфавит десятичной системы составляют цифры О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа О, 1, . q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Здесь:

А — число;
q — основание системы счисления;
a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
q i — «вес» i-то разряда.

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде 1

1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.

Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1.1.2. Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:

Например:

Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1′).

Разделим на 2. Частное будет равно , а остаток будет равен a.

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1.

Если продолжить этот процесс деления, то на n-m шаге получим набор цифр:

которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.

Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112.

Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

1.1.3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:

Например: 10638 = 1 • 8 3 + 0 • 8 2 + 6 • 8 1 + 3 • 8 = 56310.

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.

1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0. 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3AF16 означает:

Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.

1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием g следует:

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от О до 2010.

В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://sc.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (135050). С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.

В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» (135009) вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления — метод разностей.

Читайте также:  Научный закон и его таблица

1.1.6. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на ис-пользовании следующих таблиц сложения и умножения:

Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.

Пример 9. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

1.1.7. «Компьютерные» системы счисления

В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:

• двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
• представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
• двоичная арифметика наиболее проста;
• существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.

С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (128659), размещённого в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, можно проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количествен-ный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Здесь:

А — число;
q — основание системы счисления;
a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
q i — «вес» i-то разряда.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?

2. Найдите дополнительную информацию об унарной, позиционных и непозиционных системах счисления. Чем они различаются? Приведите примеры.

3. Цифры каких систем счисления приведены на рис. 1.1?

4. Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.

5. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

6. Запишите в развёрнутой форме числа:

7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:

8. Укажите, какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является:

а) наибольшим;
б) наименьшим.

9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

10. Верны ли следующие равенства?

11. Найдите основание х системы счисления, если:

12. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

13. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

а) 513;
б) 600;
в) 2010.

14. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) 513;
б) 600;
в) 2010.

15. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

Электронное приложение к уроку

Файлы Материалы урока Ресурсы ЭОР

Cкачать материалы урока

Источник

Позиционные системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел с помощью определенных знаков.

Давайте рассмотрим самые распространенные позиционные системы – в зависимости от местоположения (разряда) в записи числа один и тот же знак имеет различные значения.

Целое число “x” в позиционной системе счисления можно выразить следующим образом:

Запись числа в системе счисления

  • b – основание системы
  • ak – цифры числа (0 ≤ ak ≤ b-1)
  • k – количество разрядов

Развернутая форма записи целого числа:

Запись числа в системе счисления

  • Двоичная система счисления: основание – 2
  • Восьмеричная система счисления: основание – 8
  • Десятичная система счисления: основание -10
  • Шестнадцатеричная система счисления: основание – 16
  • Таблица соответствия чисел систем счисления

Двоичная система счисления: основание – 2

Используется в дискретной математике, информатике и программировании. Содержит только две цифры – 0 и 1. Число, записанное в данной системе, обозначается буквой B на конце (префикс).

Примеры:

  • 101012 = 10101B = 1×2 4 +0×2 3 +1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 = 16+4+1= 21
  • 101112 = 10111B = 1×2 4 +0×2 3 +1×2 2 +1×2 1 +1×2 0 = 16+4+2+1= 23
  • 1000112 = 100011B = 1×2 5 +0×2 4 +0×2 3 +0×2 2 +1×2 1 +1×2 0 =32+2+1= 35

Восьмеричная система счисления: основание – 8

Для записи числа используются восемь цифр – от 0 до 7.

Примеры:

  • 278 = 2×8 1 +7×8 0 = 16+7 = 23
  • 308 = 3×8 1 +0×8 0 = 24
  • 43078 = 4×8 3 +3×8 2 +0×8 1 +7×8 0 = 2247

Десятичная система счисления: основание -10

Самая распространенная система, которая используется повсеместно. Содержит цифры от 0 до 9.

Пример:

253810 = 2×10 3 +5×10 2 +3×10 1 +8×10 0

Шестнадцатеричная система счисления: основание – 16

Используются цифры от 0 до 9, а также буквы от A до F. Для обозначения чисел служит префикс H. Система применяется в информатике и программировании.

Примеры:

  • 2816 = 28H = 2×16 1 +8×16 0 = 40
  • 2F16 = 2FH = 2×16 1 +15×16 0 = 47
  • BC1216 = BC12H = 11×16 3 +12×16 2 +1×16 1 +2×16 0 = 48146

Источник

Системы счисления

Система счисления — это набор символов и правила их применения для представления чисел.

Системы счисления могут быть позиционными и непозиционными. В позиционных системах значение цифры зависит от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, а в непозиционных — не зависит.

В качестве примера непозиционной можно привести римскую систему счисления, в которой были приняты семь базовых чисел. В следующей таблице символам римской системы сопоставлены числа в десятичной:

Символ I V X L C D M
Число 1 5 10 50 100 500 1000

Остальные числа получаются в результате сложения и вычитания по следующему правилу: если меньшее базовое число предшествует большему (стоит левее в записи), то оно вычитается, если же за базовым числом стоит меньшее или оно последнее — то складывается с результатом, при этом подряд не должно стоять больше трех одинаковых символов. Например,

MCDXCVIII: 1000 — 100 + 500 — 10 + 100 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1498

Максимальным числом, которое можно представить в классической римской системе является 3999.

В нашей повседневной жизни мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. В ней десять цифр — от 0 до 9, а их значение зависит от позиции. Цифра, которая находится в самом младшем (правом) разряде записи числа, обозначает количество единиц в числе. Цифра в следующем, более старшем разряде (левее самого младшего), обозначает количество десятков, в следующем — количество сотен, и т.д..

Количество цифр, используемых в системе счисления, называется основанием системы. В таблице приведены примеры, распространенных в информатике систем счисления, их основания и наборы цифр (алфавит):

Система счисления Основание Используемые цифры
Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная 2 0, 1
Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцате-
ричная
16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Так как обычных цифр всего десять, то для обозначения остальных цифр в шестнадцатеричной системе используются буквы латинского алфавита.

Основной системой в информатике является двоичная, потому что вычисления реализовать в электронных устройствах оказывается достаточно просто именно в этой системе. Современная компьютерная техника основана на электронных логических элементах, имеющих два уровня сигнала — низкий и высокий, соответствующих нулю и единице.

Читайте также:  Таблица болезнь и жизненная причина

Ниже приведена таблица первых шестнадцати чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления:

Основание системы
10 2 8 16
0000 00
1 0001 01 1
2 0010 02 2
3 0011 03 3
4 0100 04 4
5 0101 05 5
6 0110 06 6
7 0111 07 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Можно заметить, что во всех системах при последовательной записи чисел, сначала используется один разряд, в котором меняется цифра (символ алфавита системы), после того, как цифры исчерпаны, для представления следующего числа уже необходимо две цифры и оно обозначается как 10. В общем случае имеет место быть равенство:

где q — основание системы счисления, а 10q читается как один, ноль. Нижний индекс указывает в какой системе записано число. Для приведенных в таблице систем: 2=102, 8 = 108, 16 = 1016.

Также в таблице можно заметить, что трех-разрядному двоичному числу соответствует одноразрядное восьмеричное, а четырех-разрядному двоичному — одноразрядное шестнадцатеричное. Это значит, что зная эту таблицу, можно производить прямое преобразование между двоичным и восьмеричным, а также между двоичным и шестнадцатеричным числами.

Например, чтобы перевести 11010102 в шестнадцатеричного число, разделим условно число на группы по четыре разряда: 0110 1010, при этом отсчет ведем с младшего (правого) разряда, а группу, в которой разрядов меньше четырех, дополняем справа нулями. По таблице находим соответствие: 0110 — это 6, 1010 — A. Получилось — 6A16.

Переведем число 2738 в двоичный вид. 28 — 0102, 78 — 1112, 38 — 0112, записываем последовательно и получаем — 0101110112.

Перевод в десятичную систему счисления

Для n-разрядного целого числа в десятичной системе справедливо выражение:

где
Х10 — число, записанное в десятичной системе, в нижнем индексе указано основание системы,
Аn-1 .. А — цифры в соответствующих разрядах числа.

Это выражение — разложение десятичного числа по степеням десяти — основания системы. Например, для числа 7583:

758310 = 7⋅10 3 + 5⋅10 2 + 8⋅10 1 + 3⋅10 0

Аналогичное выражение справедливо для любой позиционной системы счисления:

где
q — основание системы счисления,
Xq— число, записанное в системе счисления с основанием q,
Аn-1 .. А — цифры в соответствующих разрядах числа.

2C416 = 2⋅16 2 + 12⋅16 1 + 4⋅16 0 = 2⋅256 + 12⋅16 + 4⋅1 = 512 + 192 + 4 = 70810

Для числа с дробной частью:

10011,1012 = 1⋅2 4 + 0⋅2 3 + 0⋅2 2 + 1⋅2 1 + 1⋅2 0 + 1⋅2 -1 + 0⋅2 -2 + 1⋅2 -3 =
= 16 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 19,62510

Перевод числа из десятичной системы в другие

Для перевода из десятичной системы в другую применяется метод последовательного деления числа на основание системы, в которую переводят, до тех пор, пока частное не окажется меньше основания другой системы. Результат записывается слева направо следующим образом: первым записывается последнее полученное частное, затем записывается каждый остаток последовательного деления в обратном порядке.

Например, переведем число 16910 в двоичную систему:

169 2
-168 84 2
1 -84 42 2
-42 21 2
-20 10 2
1 -10 5 2
-4 2 2
1 -2 1

Результат записываем, как показано стрелками: 101010012. Заметим, что в результате первого деления, полученный остаток является самым младшим разрядом числа в другой системе счисления.

Чтобы перевести дробную часть числа, представленному в десятичной системе, надо применить другой метод — последовательное умножение дробной части на основание системы, в которую переводим. Допустим, нужно перевести 0,37510 в двоичную систему счисления.

0, 375 ⋅ 2
750 ⋅ 2
1 500 ⋅ 2
1 000

Вычисления метода удобно записывать в виде столбика, Проводится вертикальная черта, отделяющая дробную часть, Если в результате умножения дробной части получаем число, в котором количество разрядов совпадает с количеством разрядов дробной части, то в следующей строке слева от вертикальной черты пишем 0, если же больше, то старшие разряды полученного произведения, превышающие дробную часть по количеству разрядов. Справа от черты пишем младшие разряды полученного произведения в количестве равным количеству разрядов дробной части.

В нашем случае, 375 ⋅ 2 = 750, значит, во второй строке пишем слева от черты 0, а справа — 750. Снова умножаем на 2 полученную дробную часть — 750 ⋅ 2 = 1500. Число разрядов 4, поэтому в следующей строке 1 пишем слева от черты, а 500 — справа. Теперь умножаем 500 на 2, заметьте, что умножаем только часть полученного числа, стоящую справа от черты. 500 ⋅ 2 = 1000. В следующей строке пишем 1 слева от черты, 000 — справа. Дальнейшее умножение не имеет смысла, так как будем получать всегда 0. Результатом перевода будет левый столбик — 0,0112.

Не всегда последовательное умножение приводит к получению конечной дроби, тогда умножение проводят столько раз, сколько требуется по условиям задачи, т.е. сколько знаков требуется после запятой.

Переведем 3427,58 из десятичной системы в шестнадцатеричную с точностью дробной части 4 знака после запятой.

Переводим целую часть методом деления:

3427 16
-32 214 16
22 -16 13
-16 54
67 48
64 6
3

Так как 13 в шестнадцатеричной системе — D, то результат — D6316.

Переведем дробную часть:

0, 58 ∗ 16
9 28 ⋅ 16
4 48 ⋅ 16
7 68 ⋅ 16
10 88

Полученное число D63,947A16.

Арифметические операции с числами в двоичной системе счисления

Методы арифметических операций с двоичными числами точно такие, какие используются для операций с десятичными числами. Рассмотрим несколько примеров.

+ 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1

Записываем числа один под другим, при этом числа должны быть «выровнены» по правому краю. Складываем поразрядно, начиная с младших (правых) разрядов. При этом, если сумма разрядов получается двух-разрядной — старший переносим на следующий разряд общего результата.

. . . .
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
+ 1 1
1 1
1 1 1
110010 101
-101 1010
101
-101
00

Свойства двоичных чисел

Число 2 N в двоичной системе счисления записывается как единица и N нулей, например

Аналогично, для любой другой системы счисления, число q N в q-ой системе счисления записывается как единица и N нулей, например

Число 2 N — 1 в двоичной системе счисления записывается как N единиц, например

Для любой системы счисления, число q N — 1 в q-ой системе счисления записывается как N цифр (q-1), например

Число 2 N — 2 K , при K 5 — 2 2 = 111002.

Для системы счисления с основанием q, число q N — q K , при K 5 — 3 2 = 222003.

Источник

Информатика

План урока:

Развиваясь, древний человек стал испытывать потребность в способах выражения количества. Подсчет убитых животных, количество врагов или соседей – причин становилось все больше. Сначала люди использовали только понятия «один», «много». После стали использовать понятие «пара», чтобы обозначить два предмета, это намного облегчило жизнь.

Постепенно перешли к использованию подручных средств – пальцев на руках и ногах, зарубок на коре дерева, кости животного или узелков на канате. Именно такие примитивные «счетные машины» позволили через тысячи лет узнать, что предки умели не просто считать, но даже умудрялись фиксировать результаты подсчета.

Кроме зарубок и узелков появилась потребность в символах, выражающих большее количество чего-либо, чем «один». Тогда были придуманы первые знаки для выражения больших значений. Так, египтяне, использовали знаки для цифр 1, 5, 10. Число 324 в их системе выглядело так: 1 sistemy schisleniya

А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.

Системы счисления – виды, особенности

Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.

2 sistemy schisleniya
Источник

Все существующие системы делят на 2 группы:

  1. Позиционные системы счисления – такие, в которых, в зависимости от положения, цифры будет иметь разное значение. К этой группе относится арабская СС, в которой на первом месте справа цифра будет обозначать единицы, на втором – десятки, на третьем – сотни и так далее.

Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.

К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).

  1. Непозиционные СС – имеет значение именно знак, а не его положение. Единицы, десятки, сотни обозначаются определенными символами. Яркий представитель этой группы – римская СС.
Читайте также:  Футбол беларуси высшая лига 2021 результаты турнирная таблица

Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.

8 – VIII или IIX

Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.

Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.

Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.

Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.

Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 12548, 011001112. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).

Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?

3 sistemy schisleniya

Непозиционные СС, их особенности

Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).

4 sistemy schisleniya

Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.

5 sistemy schisleniya
Источник

Римская СС

В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.

6 sistemy schisleniya

Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:

  1. Символы следует писать по убыванию слева направо.
  2. Нежелательно записывать подряд более 3 одинаковых знаков.
  3. Положение цифры обозначает, какой ее вклад – отрицательный, если она стоит слева от большего числа, положительный – справа.

7 sistemy schisleniya
Таблица римских цифр

Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.

Основные позиционные СС, правила перевода

Двоичная система счисления

Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.

Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.

8 sistemy schisleniya

Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:

  1. Деление на основу СС до тех пор, пока не останется в остатке значение меньше значения основы.
  2. Записать остатки, от последнего к первому.
  3. Первый ноль можно не писать.

0 111 0100 11002

Этот порядок действия позволят переводить в любую позиционную СС. В данном случае, основа – 2, остаток 2 +7*10 1 +9*10 0 = 57910.

12 sistemy schisleniya
Источник

Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.

  1. Умножить и суммировать полученные значения.

13 sistemy schisleniya

А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.

14 sistemy schisleniya

Альтернативный способ преобразования для гуманитариев

Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:

15 sistemy schisleniya

Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579

16 sistemy schisleniya

Обратно еще проще. Подсчитать количество знаков – это будет степень 2 в степени -1. И так далее. А проще при помощи той же таблицы:

17 sistemy schisleniya

Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.

18 sistemy schisleniya

Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).

19 sistemy schisleniya

Пример: Перевести 5798 из десятичной в восьмеричную систему счисления:

20 sistemy schisleniya

Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:

11038 = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 57910

21 sistemy schisleniya

Альтернативный вариант таблицы степеней

22 sistemy schisleniya

Шестнадцатеричная СС

Это целочисленная система с основанием 16 (символы шестнадцатеричной системы счисления 0-9 и буквы A – F). Используется в реализации компьютерного программирования и документации на низком уровне, так как 8-битный байт, для записи которого удобно использовать 2 цифры из шестнадцатеричной системы.

Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.

23 sistemy schisleniya

Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.

24 sistemy schisleniya

Алгоритм преобразования чисел в 16СС

Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.

25 sistemy schisleniya

26 sistemy schisleniya

В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).

Арифметика для 2СС

Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:

27 sistemy schisleniya

Особенности арифметики СС с разными основами:

  • при сложении чисел двух 1 в двоичной системе переполняется младший разряд (сумма = или ˃ основания СС), то единица переходит к большему разряду;
  • если есть 0-1=1, идет заимствование из старшего разряда;
  • умножать 2СС удобнее всего в столбик, учитывая 4 основные правила;
  • заем единиц в 2СС при отнимании/делении, тогда она дает промежуточным разрядам по 1, а для занимаемого разряда сразу 11.

Примеры арифметических операций:

28 sistemy schisleniya

Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:

Сложение в 8-ой СС в 16СС

29 sistemy schisleniya

С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.

Сложение для разных СС на примере 15 и 6:

30 sistemy schisleniya

Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.

Рассмотрим сумму 438 и 5616. Результат можно выразить в любой СС, но проще привести к 8- или 16-ричной:

Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:

31 sistemy schisleniya

Умножение в 8-ой СС

32 sistemy schisleniya

33 sistemy schisleniya

Сравнение систем

СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.

Сравнительная таблица разных систем счисления:

34 sistemy schisleniya

Перевод числа 75 в разные системы:

35 sistemy schisleniya

36 sistemy schisleniya
Источник

Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:

Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.

37 sistemy schisleniya

Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 10010000112

001 001 000 011

38 sistemy schisleniya

Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:

Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.

39 sistemy schisleniya

40 sistemy schisleniya

Сравнительный перевод дробей в СС

Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:

41 sistemy schisleniya

Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.

42 sistemy schisleniya

Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:

43 sistemy schisleniya

44 sistemy schisleniya

Таблицы истинности

При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.

Основные логические операции

45 sistemy schisleniya

Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.

Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:

46 sistemy schisleniya

Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.

Так выражаются условия для всех логических операций.

Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.

Источник

Adblock
detector