Меню

Докажите что таблица квадратная



Олимпиады по математике 11 класс с решением

Олимпиады по математике 11 класс с ответами.
Олимпиадные задания — задачи олимпиад.

Олимпиады по математике. 11 класс. Вариант 1.

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Решите уравнение sin 4 4x + cos 2 x = 2sin4x х cos 4 x.

Существует ли многогранник с нечетным числом граней,
каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1.
Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце.
Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке.
Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Пусть это 4 последовательных числа: n , n + 1, n + 2, n + 3.
Тогда n (n + 1)( n + 2)( n + 3) + 1 = ( 2 + 3 n)( n 2 + 3 n + 2) + 1 = (n 2 + 3n ) 2 + 2( n 2 + 3 n) + 1 = ( n 2 + 3 n + 1) 2 .

Перенесем в левую часть 2 sin 4 x · cos 4 x и прибавим и вычтем по cos 8 x .
В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos 4 x) 2 + cos 2 x(1 – cos 6 x) = 0,
которое равносильно следующей системе:уравнение можно преобразовать

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение,
в результате получим решение исходного уравнения x = π /2 + π k .

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1 , 2 , …, число ребер на гранях,
тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная.
А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно.
Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к.(1/x)’ = -1/(x 2 ), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/( х 2 )(x — х ) + 1/ х .(*)
Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке ( х 1 ;0);
х 1 можно определить из уравнения -1/( х 2 )(x — х ) + 1/ х = 0.
Решая данное уравнение, получим х 1 = 2 х .
Точка (0; y 1 ) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0.
В итоге получим y 2 = 2/ х .
Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник,
катеты которого имеют длины а = 2|х | и b = 2 / |х | .
Площадь данного треугольника равна 2.

Найдем произведение всех 25 чисел,
записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек.
Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1.
А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50).
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно — 1, т. е. слагаемых с — 1 должно быть нечетное число.
А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.

Варианты заданий с решением и ответами : 1 вариант | 2 вариант | 3 вариант

Источник

Докажите что таблица квадратная

Дана квадратная таблица. В каждой её клетке стоит либо плюс, либо минус, причём всего плюсов и минусов поровну.
Докажите, что или в каких-то двух строках, или в каких-то двух столбцах одинаковое количество плюсов.

Решение

Из условия видно, что число клеток в таблице чётно, то есть это таблица 2n ×2n , а число плюсов равно 2n 2 . Предположим, что удалось расставить знаки так, что количества плюсов во всех строках различны.
Если при этом нет строки, заполненной одними плюсами, то в строках реализуются по одному разу все количества плюсов от 0 до 2n – 1. Но тогда общее число плюсов равно n (2n – 1) ². Противоречие.
Пусть есть строка, заполненная плюсами. Тогда нет столбца без плюсов. Если во всех столбцах количества плюсов различны, то это – все числа от 1 до 2n , и общее число плюсов равно n (2n + 1) > 2n ². Значит, в каких-то двух столбцах плюсов поровну.

Замечания

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

math4school.ru

Инварианты и операции

Инварианты и операции

Немного теории

В задачах, где требуется выяснить, можно ли с помощью заданных операций перейти от одного из объектов к другому, часто полезно найти «инвариант» – числовую характеристику объектов (или функцию с какими-то другими значениями на множестве объектов), которая не меняется при указанных операциях. Если при этом значение инварианта на двух объектах различно, то превратить один в другой нельзя. В целочисленных и других «дискретных» задачах инвариантом часто служит остаток от деления на 2 (четность) или на другое натуральное число.

Если все выполняемые операции обратимы, то все множество объектов, над которыми они выполняются, разбивается на классы эквивалентности (два объекта эквивалентны, если один из них может быть получен из другого заданными операциями).

В задачах, где требуется оценить количество операций или доказать, что их нельзя проделывать бесконечное числе раз (скажем, убедиться в отсутствии «цикла»), иногда бывает полезно придумать функцию, которая при каждой операции возрастает или при каждой операции убывает.

Задачи с решениями

1. Дано три числа:

Разрешается любые два из них заменить двумя следующими: суммой, делённой на квадратный корень числа 2, и разностью, делённой на квадратный корень числа 2. Возможно ли, выполнив эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел:

то есть при выполнении процедуры по замене двух чисел двумя другими, описанной в условии задачи, сумма квадратов заменяемой пары, а значит и всей тройки чисел, остаётся постоянной. Найдём начальную и предполагаемую конечную суммы квадратов троек чисел:

Это позволяет дать отрицательный ответ на вопрос, поставленный в условии задачи.

Читайте также:  Спорт экспресс футбол лига чемпионов результаты таблицы

Ответ: не возможно.

2. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вписать цифру, отличную от стёртых (вместо 0 и 1 – цифру 2, вместо 1 и 2 – цифру 0, вместо 0 и 2 – цифру 1). Докажите, что если в результате таких операций на доске останется одно число, то оно не зависит от порядка, в котором производились стирания.

Пусть p – число нулей, q – число единиц, r – число двоек. После каждой операции все три числа p, q, r изменяются на 1, тем самым меняют чётность. Когда на доске остаётся одна цифра, одно из чисел p, q, r становится равным 1, два другие – 0. Следовательно, вначале чётность одного из этих чисел была отлична от чётности двух других. Соответствующая цифра и остаётся на доске.

3. Можно ли все натуральные числа от 1 до 30 записать в таблицу, имеющую 5 строк и 6 столбцов, так, чтобы:

а) суммы чисел в каждом столбце были одинаковы;

б) суммы чисел в каждой строке были одинаковы?

а) Сумма всех чисел от 1 до 30 равна 465. Она не делится на 6, и поэтому числа от 1 до 30 нельзя разместить в 6 столбцов так, чтобы суммы чисел в каждом столбце была одна и та же.

б) Числа 1 до 30 можно разбить на 15 пар: 1 и 30, 2 и 29, … , 14 и 17, 15 и 16. Сумма чисел в каждой паре равна 31. Если в каждую строку записать любые три из указанных пар, то сумма чисел в строке будет равна 93, а таблица, строки которой заполнены тройками таких пар, будет обладать требуемым свойством: суммы чисел в каждой строке будет одна и та же.

4. На каждом из 44 деревьев, растущих по кругу, сидит один воробей. Время от времени какие-то два воробья перелетают на соседнее дерево – один по часовой стрелке, другой – против. Могут ли воробьи собраться на одном дереве?

Пронумеруем деревья по кругу с 1-го по 44-е. Будем считать дальше сумму номеров деревьев, на которых сидят воробьи. С самого начала эта сумма равна 990. При перелёте воробьёв эта сумма либо не меняется (ни один из воробьёв не пересёк границу между 1-м деревом и 44-м или воробьи, сидящие на 1-м и 44-м деревьях, поменялись местами), либо меняется на 44 (только один из воробьёв пересёк границу между 1-м и 44-м деревьями). Таким образом, остаток от деления суммы номеров деревьев, на которых сидят воробьи, на 44 не изменяется и равен 22, остатку от деления 990 на 44.

Если предположить, что все 44 воробья соберутся на одном дереве, то рассматриваемая нами сумма будет равна 44·k, где k – одно из чисел от 1 до 44. Остаток же от деления 44·k на 44 равен 0, чего быть не должно.

Итак, воробьи не могут собраться на одном дереве.

5. В каждой клетке квадратной таблицы 25 на 25 написано число +1 или –1. Обозначим через ai произведение всех чисел i-й строки, через bj – произведение всех чисел j-го столбца. Показать, что сумма

Заметим, что a1 · a2 · … · a25= b1 · b2 · … · b25, так как каждое из этих произведений равно произведению всех чисел таблицы.

тогда среди слагаемых было бы 25 положительных чисел равных +1 и 25 отрицательных чисел равных –1. Поэтому, если имеется n отрицательных чисел среди ai, то среди bj отрицательных будет 25–n. Числа n и 25–n разной чётности, поэтому одно из произведений a1 · a2 · … · a25 или b1 · b2 · … · b25 положительно, а другое отрицательно, что противоречит ранее доказанному их равенству.

Предположение ложно, рассматриваемая сумма не равна 0.

6. В одной клетке квадратной таблицы со стороной 8 стоит знак минус, а в остальных стоят плюсы. Разрешается за один ход в некотором квадрате со стороной 2 изменять знаки на противоположные. Доказать, что с помощью таких ходов нельзя получить таблицу с одними плюсами.

При замене знаков в квадрате со стороной 2 на противоположные количество минусов может измениться только на 2 или 4. Следовательно, во всей таблице число, выражающее количество минусов, остаётся всегда нечётным, а потому не может стать равным 0, что и требовалось доказать.

7. Квадратное поле поделено на 100 одинаковых квадратных участка, 9 из которых заросли травой. Известно, что трава за год распространяется на те и только те участки, у которых не меньше двух соседних участков (то есть таких, которые имеют общую сторону) уже заросли травой. Докажите, что поле никогда не зарастет травой полностью.

Нетрудно проверить, что длина границы участка, заросшего травой (или сумма длин границ нескольких участков) не возрастает. В начальный момент она не превышает 9·4=36, поэтому через любой промежуток времени не станет равной периметру всего поля, равному 40.

8. В вершине А1 правильного 12-угольника А1А2 … А12 стоит знак минус, а в остальных – плюсы. Разрешается одновременно менять знак на противоположный в любых k последовательных вершинах многоугольника. Докажите, что за несколько таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине А2 оказался знак минус, а в остальных вершинах – плюсы, если

а) Разрешается менять знаки в 6 последовательных вершинах. Разобьём все 12 вершин на 6 пар противоположных вершин: А1А7, А2А8, А3А9, … , А6А12. При каждой операции в каждой паре меняет знак только одна вершина. Поэтому в парах А2А8, А3А9, … , А6А12 после нечётного количества операций будут разные знаки, а после чётного – одинаковые. Значит, не может случится так, что в паре А2А8 знаки будут разные (в частности, А2 с минусом, А8 с плюсом), а в паре А3А9, например, – одинаковые (плюсы).

Читайте также:  Все виды инъекций таблица

б) Разрешается менять знаки в 4 последовательных вершинах. Рассмотрим разбиение на 4 группы по три вершины: А1А5А9, А2А6А10, А3А7А11, А4А8А12 и будем рассуждать так же, как выше. Четность числа минусов в каждой группе меняется при каждой операции, и у групп А2А6А10, А3А7А11 она одинаковая.

в) Разрешается менять знаки в 3 последовательных вершинах. Следует применить аналогичные рассуждения для разбиения на 3 группы: А1А4А7А10, А2А5А8А11, А3А6А9А12.

9. Домино состоит из двух квадратов. Назовём «тримино» фигуру, состоящую из трёх квадратов, расположенных друг за другом в одну линию. Стандартная шахматная доска из 64 полей покрыта двадцатью одним тримино, так, что, каждое тримино покрывает три поля. Одно поле остаётся свободным. Какое это может быть поле?

Занумеруем двумя способами клетки шахматной доски числами 1, 2, 3, как показано на рисунках ниже. Нумерацию ведём по горизонталям начиная с верхней. Первый раз начинаем с верхней левой клетки и движемся слева направо, второй раз наоборот – от правой верхней клетки движемся справа налево.

Заметим, что каждое тримино обязательно покрывает поля, занумерованные разными числами. Заметим так же, что при обоих способах нумерации на доске написано 22 единицы, 21 двойка и 21 тройка. Поэтому свободным может остаться лишь поле, на котором в обоих случаях стоит единица. Таких полей ровно четыре. Они выделены на рисунках приведённых выше. Один из способов укладки тримино, при котором остаётся свободной верхняя левая из выделенных клеток, приведён на следующем рисунке.

Расположения тримино, при которых будут оставаться свободными другие указанные поля доски, легко получить поворотом предложенного на 90°, 180° и 270°.

10. «Дельфин» – фигура, которая ходит на одно поле вверх, вправо или по диагонали налево вниз, как показано на рисунке.

Может ли «дельфин», начиная из левого нижнего угла квадратной доски со стороной 8, обойти всю эту доску, побывав в каждой клетке ровно по одному разу?

Занумеруем горизонтали доски снизу вверх числами 0, 1, 2, … , 7 и вертикали доски слева направо теми же числами (смотрите рисунок ниже). Каждой клетке доски поставим в соответствие сумму номеров вертикали и горизонтали, на пересечении которых эта клетка находится (на рисунке эти суммы выписаны зелёным цветом лишь для нескольких клеток). Обозначим эту сумму s.

«Дельфин» начинает свой путь в клетке, для которой s = 0. При каждом ходе «дельфин» перемещается в клетку, которой соответствует число s либо большее на 1, либо меньшее на 2 по сравнению с предыдущей. Значит, остаток от деления на 3 числа s изменяется в следующей последовательности: 0, 1, 2, 0, 1, 2, … (на рисунке эти остатки для некоторых клеток выписаны красным цветом).

Предположим, что «дельфин» обошёл всю доску, побывав в каждой клетке по одному разу. Отбросим начальную клетку и разобьём оставшиеся 63 клетки на 21 тройку клеток, подряд идущих по ходу «дельфина». Тогда в каждой тройке ровно одной клетке соответствует число, кратное 3 (красные нули). Однако таких клеток (выделены на рисунке) имеется лишь 20.

Полученное противоречие опровергает предположение и доказывает, что «дельфин» не может обойти всю доску.

Задачи без решений

1. В одной вершине куба написали число 1, в остальных – ноли. Можно прибавлять по 1 к числам, записанным на концах одного ребра. Можно ли добиться того, чтобы все числа делились на 3?

2. На доске записаны числа от 1 до 20. Пару чисел (х;у) можно заменить на число х+у+ху. Какое число останется на доске после 19 операций?

3. а) Во 15 клетках квадратной таблицы со стороной 4 расставлены плюсы. Единственный минус записан у края таблицы в не угловой клетке. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что сколько бы мы не провели таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

б) Во всех клетках квадратной таблицы со стороной 8 расставлены плюсы, за исключением одной не угловой клетки, где стоит минус. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали (в частности, в любой угловой клетке; диагональ – линия, по которой ходит шахматный слон). Докажите, что сколько бы мы не провели таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

4. По кругу расставлены числа от 1 до 22. 2 (запись числа состоит из n двоек, n>1). Числа, стоящие на соседних местах, можно поменять местами. После некоторого количества таких операций оказалось, что каждое число переместилось на диаметрально противоположное место. Доказать, что в некоторый момент меняли местами числа, сумма которых равна 22. 3 (запись числа состоит из n–1 двойки и одной тройки в конце).

5. На плоскости дан правильный шестиугольник. Каждая его сторона разделена на 1000 равных частей, и точки деления соединены отрезками, параллельными сторонам шестиугольника. Выберем какие-либо три узла получившейся сетки, являющиеся вершинами правильного треугольника (любого размера и расположения), и окрасим их. Будем продолжать окрашивать таким способом тройки узлов до тех пор, пока это возможно. Докажите, что если неокрашенным останется один узел, то он не может быть вершиной исходного шестиугольника.

Источник

Докажите что таблица квадратная

Вопрос по математике:

В каждой клетке прямоугольной таблицы написано число.
Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 100. Докажите, что
таблица квадратная.

Ответы и объяснения 1

Допустим, что все числа в таблице 10. Тогда 100/10=10 => в каждой строке и столбце будет по 10 клеток => 10*10 — квадрат.
Аналогично это можно доказать для любых чисел, т.к. сумма в столбцах и строках будет всегда равной

Читайте также:  Шкала бофорта таблица для моря
Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Источник

Докажите что таблица квадратная

В дальнейшем мы будем встречаться и с такими таблицами чисел, в которых число строк и столбцов может быть и неодинаково. Рассмотрим такую более общую таблицу:

Она содержит строк и столбцов, причем числа могут быть или различны, или равны. Вычеркивая из этой таблицы некоторые строки и столбцы так, чтобы число оставшихся строк и столбцов было одинаково, мы сможем из оставшихся строк и столбцов составить определитель. Такие определители назовей определителями, входящими в состав таблицы (42). Наивысший порядок, который могут иметь, равен, очевидно, наименьшему из двух чисел , а наименьший порядок этих определителей равен единице, причем определители первого порядка суть сами элементы таблицы (42). Положим, что все определители некоторого порядка входящие в таблицу, равны нулю. Нетрудно видеть, что тогда и все определители порядка входящие в таблицу, также равны нулю. Действительно, всякий такой определитель порядка можно представить в вйде суммы произведений элементов его некоторой строки на алгебраические дополнения этих элементов. Но последние с точностью до знака совпадают с некоторыми определителями порядка I таблицы, и, следовательно, все равны нулю. Раз все определители порядка равны нулю, то так же, как и выше, все определители порядка также будут равны нулю и т. д. Итак, если все определители некоторого определенного порядка, входящие в таблицу (42), равны нулю, то и все определители более высокого порядка этой таблицы также равны нулю.

Введем важное для дальнейшего понятие о ранге таблицы, или, как говорят, матрицы (42). Рангом матрицы (42) называется наивысший порядок определителя этой таблицы, отличного от нуля, т. е. если ранг таблицы есть то среди определителей порядка k, входящих в эту таблицу, есть по крайней мере один, отличный от нуля, но все определители таблицы порядка равны нулю.

Пусть наряду с таблицей (42) имеется таблица

содержащая строк и столбцов.

Квадратная таблица, составленная из чисел называется обычно произведением прямоугольных таблиц (42) и (43).

Докажем теорему, которая является обобщением теоремы об умножении определителей.

Теорема. Если то

где суммирование распространяется на все значения из ряда, чисел удовлетворяющие указанному неравенству. Если же то определитель равен нулю.

указан в [3]. Второй из них обозначает определитель, составленный из элементов таблицы (43), принадлежащих строкам и столбцам . При сумма, входящая в формулу (45), содержит лишь одно слагаемое, соответствующее и формула (45) выражает теорему об умножении определителей.

Рассмотрим случай Доказательство формулы (45) будет аналогично доказательству теоремы об умножении определителей. Как и при этом доказательстве, мы имеем:

причем каждое из чисел может принимать значения , и можно отбросить те слагаемые, у которых среди чисел есть равные, так как эти слагаемые равны нулю. Возьмем какую-либо определенную последовательность чисел из ряда чисел и выделим из суммы (45) те слагаемые, у которых совокупность чисел совпадает с совокупностью чисел Мы получим таким образом часть суммы (46):

где сумма распространяется на всевозможные перестановки из чисел

Умножая каждое слагаемое суммы (47) дважды на Мы докажем совершенно так же, как и в [6], что эта сумма равна

Чтобы получить всю сумму, входящую в формулу (46), достаточно просуммировать это произведение по всем что и дает формулу (45). Положим, наконец, что Мы можем при этом добавить к таблице столбцов, состоящих из нулей, а к таблице строк, состоящих из нулей. Если после такого добавления мы будем вычислять не по формулам (44), а по формулам:

то получим прежние значения так как добавленные слагаемые в правой части (48) равны нулю. С другой стороны, после указанного добавления таблицы (42) и (43) превратились в квадратные таблицы, которым соответствуют определители, равные нулю, а потому, согласно теореме об умножении определителей, и определитель равен нулю, и теорема полностью доказана.

Замечание. Если две прямоугольные таблицы имеют каждая строк и столбцов, то, умножая строка на строку:

получим определитель величина которого равна нулю при а при выражается формулой:

Следствие. Пусть имеются две квадратные таблицы порядка составленные из элементов а числа определяются формулами (44). Выразим любой минор определителя через миноры определителей

Нетрудно видеть что квадратная таблица, которая образует минор является произведением прямоугольных таблиц:

Применяя доказанную теорему, мы и получим искомое выражение:

где принимают значения из ряда . Пусть ранги таблиц Если, например, и в формуле (49) мы возьмем любое то все будут, в силу определения RA, равны нулю, а потому и все С равны нулю. Отсюда следует, что т. е. Если Ранг таблицы равен , то, очевидно, ибо, Совершенно аналогично . В дальнейшем мы покажем, что если определитель , то а если то

Источник

Adblock
detector