Меню

Дискретный вариационный ряд задан таблицей



Вариационные ряды

line

Главная > Учебные материалы > Математика: Вариационные ряды
line
1.Вариационный ряд.
2.Числовые характеристики вариационного ряда.

1.Вариационный ряд.

Многие явления, в том числе и экономические, имеют большой объем числовой информации. Для того, чтобы обработатать и изучить такой большой объем данных, необходимо сначала каким-то образом его сгруппировать. От того как сгруппировать ряд, зависит какую информацию можно получить в конечном итоге и какими свойствами обладают те или иные признаки (варианты). Вариационный ряд представляет собой сгруппированный ряд числовых данных, ранжированный в порядке возрастания или убывания, каждая группа которого имеет определенный вес (или частоту). Например объем продаж магазином товара за определенный промежуток времени (например за день) можно сгруппировать по наименованию товара.

По данным таблицы построим полигон распределения частот (рис.1)

В приведенной выше таблице проданные товары сгруппированы по наименованию бренда товара (например телевизоры разных марок). Т.е. в данном случае признаком является наименование марки (бренда) товара. Во второй колонке дано количество проданного товара, т.е. частота данного признака. Данный ряд является дискретным. Из графика видно, что наибольшей частотой обладают товары С, D и E. Соответственно 21, 22 и 20 шт.

По данным таблицы построим гистограмму распределения частот (рис.2)

Таблица 2 сгруппирована по ценовым категориям. Каждая группа имеет свой интервал цен. Данный ряд называется интервальный. Из таблицы можно увидеть, что наибольшее значение частоты имеет группа 3 в интервале цен 40-60 соответственно 43шт. Вариационные ряды на порядок меньше всего объема данных и это существенно облегчает их обработку и анализ. Полигон распределения или гистограмма вариационного ряда является аналогом распределения случайной величины. Несмотря на то, что вариационный ряд имеет существенное преимущество перед полными данными, т.к. он меньше по объему и дает полную информацию об изменении признака и свойствах ряда, на практике бывает достаточно знать лишь некоторые его характеристики.

2.Числовые характеристики вариационного ряда.

Одной из основных числовых характеристик вариационных рядов является средняя арифметическая. Данная величина показывает центральное значение признака, вокруг которого сосредоточенны все наблюдения. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений признаков (вариантов) ряда на соответствующие им частости.

Средняя арифметическая вариационного ряда

Средним линейным отклонением вариационного ряда называется средняя арифметическая модуля отклонения признаков от их средней арифметической.

Среднее линейное отклонение вариационного ряда

Дисперсией s 2 вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений признаков от их средней арифметической.

Дисперсия вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение вариационного ряда равно квадратному корню из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение вариационного ряда

Важным показателем вариационного ряда является также коэффициент вариации, который показывает однородность исследуемого признака.

Коэффициент вариации

Пример.

В компании по продаже бытовой техники, случайная величина Х (цена за единицу товара (техники) в ден.ед.) сгруппирована по интервалам цен и общий объем продаж составил 400 шт. Необходимо построить полигон распределения случайной величины Х, кумуляту и эмпирическую функцию ряда. Необходимо также найти: среднюю арифметическую, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, начальный (центральный) моменты k-го порядка, коэффициент асиметрии и эксцесс данной случайной величины.

Решение. Построим таблицу для рассчета средней арифметической и рассчитаем частость для каждого интервала цен.

Пример интервального вариационного ряда

Как видно из таблицы сумма произведений x i n i = 14610, разделим эту сумму на n и получим среднюю арифметическую вариационного ряда.

По данным таблицы построим гистограмму распределения частот.

Построим и эмпирическую функцию распределения случайной величины (кумуляту).

Далее найдем моду и медиану случайной величины Х. Наиболее вероятное значение случайной величины Х (мода) равно Mo = 34,117. Т.е. P max (34,1) = 0,1975. Медиана — Ме = 34,3 (как видно из графика). Теперь рассчитаем начальный и центральный моменты k — го порядка и сведем эти данные в таблицу.

Из данных таблицы найдем дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс по следующим формулам:

Источник

Дискретный вариационный ряд задан таблицей

В математической статистике исследуются утверждения, которые могут быть сделаны на основе измерения некоторой величины, на простейшем примере поясним постановку (одной из многих) задач математической статистики.

Пусть требуется измерить некоторую величину . Результаты измерений

естественно рассматривать как значения случайных величин , полученных в данном эксперименте. Если измерительный инструмент не имеет систематической ошибки, то можно положить . Следовательно, возникает задача оценить параметр . Для решения задачи рассмотрим случайную величину

Это обстоятельство приводит к мысли построить статистические характеристики:

Первая представляет среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины и статистическую дисперсию — во втором случае. В соответствии с законом больших чисел эти среднеарифметические сходятся по вероятности соответственно к математическому ожиданию величины и к дисперсии

При ограниченности наблюдений эксперимента заменой и на и совершаем погрешность, а при небольшом числе наблюдений величины , являются случайными величинами. Возникает задача об оценке неизвестных параметров , случайной величины на основе экспериментальных данных, т.е. задача — найти подходящие значения этих параметров.

Множество результатов измерений величины называется выборкой объема . Для того, чтобы иметь возможность воспользоваться аппаратом теории вероятностей, целесообразно наблюдаемую величину рассматривать как случайную величину, функцию распределения которой

Полученный статистический материал , , . наблюдений представляет собой первичные данные о величине, подлежащей статистической обработке. Обычно такие статистические данные оформляются в виде таблицы, графика, гистограммы и т.д.

Если выборка объема содержит различных элементов , причем встречается раз, то число называется частотой элемента , а отношение называется относительной частотой элемента . Очевидно, что

Вариационным (статистическим) рядом называется таблица, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы ‘, а вторая — их частоты (относительные частоты .

Полигоном частот (относительных частот) выборки называется ломаная с вершинами в точках ( , ( ( , ).

Функция , где — объем выборки, а — число значений в выборке, меньших , называется эмпирической функцией распределения. Функция служит оценкой неизвестной функции распределения , т.е. .

Пусть теперь — непрерывная случайная величина с неизвестной плотностью вероятности . Для оценки по выборке разобьем область значений на интервалы длины . Обозначим через середины интервалов, а через число элементов выборки, попавших в указанный интервал. Тогда — оценка плотности вероятности в точке . В прямоугольной системе координат построим прямоугольники с основаниями и высотами , т.е. площади прямоугольника, равной относительной частоте данного разряда. Полученная таким образом фигура называется гистограммой выборки.

Пример 156. Имеются данные о количестве студентов в 30 группах физико-математического факультета:

26 25 25 26 25 23
23 24 19 23 20 19
22 24 24 23 20 23
24 19 21 18 21 18
20 18 18 21 15 15

Найти вариационный ряд количества студентов в группах и размах варьирования. Построить полигон частот.

Решение. Записывая исходные данные в порядке возрастания, составим вариационный ряд:

15 18 19 20 21 22 23 24 25 26
2 4 2 4 3 1 5 4 3 2

Для построения полигона частот обозначим на оси абсцисс возможные значения признака, а на оси ординат соответствующие частоты и полученные точки соединим отрезками.

Пример 157. Школьникам предлагалось разгадать несколько числовых закономерностей и вписать в пропуски недостающие числа. Оценка осуществлялась по количеству правильно решенных задач и дала следующие результаты:

Кол-во баллов 13 14 15 16 17 18 19 20
Кол-во школьников 2 3 2 4 12 10 8 9

Составить статистическое распределение количества школьников по количеству набранных баллов и построить полигон относительных частот.

Решение. Пусть = <количество набранных баллов>, a = <относительные частоты>. Тогда статистическое распределение выборки можно представить в виде следующей таблицы:

X 13 14 15 16 17 18 19 20
0,04 0,06 0,04 0,08 0,24 0,2 0,16 0,18

Чтобы построить полигон относительных частот, отложим на оси абсцисс значения , а на оси ординат — относительные частоты . После этого последовательно соединим полученные точки отрезками.

Пример 158. В 2002 году количество служб, представляющих гражданам жилищные субсидии, по сельским районам области распределено следующим образом:

Построить эмпирическую функцию распределения.

Решение. Найдем сначала статистический ряд распределения числа служб в районах области.

1 4 5 10

Эмпирическую функцию распределения находим аналогично интегральной функции (см. §13 ) [перейти].

Пример 159. Построить гистограмму следующей выборки объема 50

интервала Границы

1 3 — 7 5 2 7 — 12 10 3 12 — 17 20 4 17 — 21 8 5 21 — 28 7

Решение. Найдем плотность относительной частоты для каждого интервала и заполним последний столбец таблицы:

Построим на оси абсцисс заданные интервалы и проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты .

Из способа построения гистограммы следует, что полная ее площадь равна единице.

Пример 160. Число школ Ярославской области в 2002 — 2003 учебном году по малым городам и районам составило:

Построить гистограмму распределения числа школ по районам области.

Решение. Выберем границы интервалов и составим по данной выборке следующую таблицу

интервала Границы

1 13 — 17 6 2 17 — 20 3 3 20 — 25 4 4 25 — 31 4

Аналогично предыдущему примеру строим гистограмму числа школ, распределенных по малым городам и районам области.

«Сглаживая» полученную гистограмму, получаем «похожесть» данного дискретного закона распределения на классический показательный (непрерывный) закон. В этом и заключается основное предназначение гистограмм выборок.

Вопросы для самоконтроля

На каких методах основано изучение статистических данных?

Основные задачи математической статистики.

Какие способы отбора из генеральной совокупности вы знаете?

Какая выборка называется представительной?

В чем отличие вариационного от статистического ряда?

Для чего используется полигон частот?

Свойства эмпирической функции распределения.

В каком случае и для чего строятся гистограммы?

I. 311. Записать выборку 2, 7, 3, 5, 4, 10, 5, 5, 2, 8, 10, 2, 7, 7, 7, 5, 4, 2, 4, 7, 8 в виде: а) вариационного ряда; б) статистического ряда.

312. Найдите эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной вариационным рядом:

1 2 4 7
10 20 30 40

313. Имеются данные о количестве сельских населенных пунктов районов Ярославской области с численностью населения более 500 человек:

Большесельский — 4, Борисоглебский — 2, Брейтовский — 1, Гаврилов-Ямский — 2, Даниловский — 2, Любимский — 1, Мышкинский — 0, Некоузский — 6, Некрасовский — 5, Первомайский — 2, Переславский — 11, Пошехонский — 0, Ростовский — 11, Рыбинский — 12, Тутаевский — 3, Угличский — 4, Ярославский — 27.

Найдите вариационный ряд количества населенных пунктов Ярославской области с численностью населения более 500 человек. Постройте полигон частот.

314. В 2002 году количество крупных и средних промышленных предприятий по районам ( в том же порядке, что и в предыдущей задаче) области распределено следующим образом:

Постройте полигон частот и эмпирическую функцию распределения.

315. Количество учащихся, получивших аттестат с медалью, в 2001 году по городам и районам Ярославской области:

г. Ярославль — 280, г. Рыбинск — 66, г. Ростов — 61, г. Переславль — 27, г. Углич — 32, г. Тутаев — 36;

Большесельский — 8, Борисоглебский — 3, Брейтовский — 11, Гаврилов-Ямский — 7, Даниловский — 19, Любимский — 11, Мышкинский — 3, Некоузский — 15, Некрасовский — 7, Первомайский — 6, Переславский — 1, Пошехонский — 8, Ярославский — 30.

Найдите вариационный ряд распределения медалистов, размах варьирования и среднее число медалистов по городам и районам области.

316. Посевные площади картофеля (тыс. гектаров) в сельских хозяйствах Ярославской области по районам:

1,5; 1,5; 0,6; 1,3; 0,9; 0,9; 0,6; 1,3; 1,1; 0,6; 1,1; 0,9; 1,6; 1,3; 0,8; 0,4; 1,1.

Найдите статистический ряд распределения посевных площадей и постройте полигон относительных частот.

II. 317. Построить гистограмму выборки, представленной в виде таблицы частот. Объем выборки .

Номер интервала

Сумма частот вариант интервала

13 — 15

24

318. Построить гистограмму выборки объема , представленной в виде таблицы частот:

Источник

Как построить вариационный ряд в Excel

Вариационный ряд может быть:

дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом (как правило целым).

интервальным, когда определены границы «от» и «до» для непрерывно варьируемого признака. Интервальный ряд также строят если множество значений дискретно варьируемого признака велико.

Рассмотрим пример построения дискретного вариационного ряда.

Пример 1. Имеются данные о количественном составе 60 семей.

Построить вариационный ряд и полигон распределения

Решение .

Алгоритм построения вариационного ряда:

1) Откроем таблицы Excel.

2) Введем массив данных в диапазон А1:L5. Если вы изучаете документ в электронной форме (в формате Word, например), для этого достаточно выделить таблицу с данными и скопировать ее в буфер, затем выделить ячейку А1 и вставить данные – они автоматически займут подходящий диапазон.

3) Подсчитаем объем выборки n – число выборочных данных, для этого в ячейку В7 введем формулу =СЧЁТ(А1:L5). Заметим, что для того, чтобы в формулу ввести нужный диапазон, необязательно вводить его обозначение с клавиатуры, достаточно его выделить.

4) Определим минимальное и максимальное значение в выборке, введя в ячейку В8 формулу =МИН(А1:L5), и в ячейку В9: =МАКС(А1:L5).

Рис.1.1 Пример 1. Первичная обработка статистических данных в таблицах Excel

5) Далее, подготовим таблицу для построения вариационного ряда, введя названия для столбца интервалов (значений варианты) и столбца частот. В столбец интервалов введем значения признака от минимального (1) до максимального (6), заняв диапазон В12:В17.

6) Выделим столбец частот, введем формулу =ЧАСТОТА(А1:L5;В12:В17) и нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER

Рис.1.2 Пример 1. Построение вариационного ряда

7) Для контроля вычислим сумму частот при помощи функции СУММ (значок функции S в группе «Редактирование» на вкладке «Главная»), вычисленная сумма должна совпасть с ранее вычисленным объемом выборки в ячейке В7.

Построим полигон:

1) выделив полученный диапазон частот, выберем команду «График» на вкладке «Вставка». По умолчанию значениями на горизонтальной оси будут порядковые числа — в нашем случае от 1 до 6, что совпадает со значениями варианты (номерами тарифных разрядов).

2) Название ряда диаграммы «ряд 1» можно либо изменить, воспользовавшись той же опцией «выбрать данные» вкладки «Конструктор», либо просто удалить.

Рис.1.3. Пример 1. Построение полигона частот

Источник

Дискретный вариационный ряд задан таблицей

Измерения диаметров 50 валиков, выточенных на станке, дали следующие результаты (в мм):

14,51 14,42 14,56 14,47 14,46 14,35 14,48 14,53
14,21 14,31 14,35 14,68 14,56 14,28 14,36 14,21
14,52 14,23 14,41 14,46 14,69 14,54 14,36 14,15
14,37 14,51 14,25 14,55 14,51 14,36 14,62 14,55
14,38 14,33 14,40 14,52 14,48 14,51 14,55 14,39
14,54 14,58 14,48 14,37 14,38 14,51 14,36 14,15
14,24 14,32

а) Построить дискретный вариационный ряд.
б) Построить интервальный вариационный ряд.
в) Для интервального вариационного ряда вычислить абсолютные и относительные плотности распределения.

а) Объем совокупности равен 50. Выпишем все различные значения диаметра валика и вычислим их частоты и относительные частоты, накопленные частоты и относительные накопленные частоты. Результаты представим в таблице (см. ниже).

Источник

Читайте также:  Таблица соотношения размеров труб

Таблицы © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер.

Adblock
detector