Меню

Что такое вектор таблицы истинности

Примеры 1

Логические высказывания и функции. Таблицы истинности

БУЛЕВА ЛОГИКА

Двоичные (булевы) векторы

Двоичным (булевым) n-мерным вектором называют набор из n чисел (b1, b2, . bn), каждое из которых может принимать только значения в двоичной системе счисления – 0 или 1.

Двоичный вектор `b n * является обратным(инвертирован­ным) к`b n , если он образован из`b n заменой нулей единицами, а единиц – нулями. Например, если` b=(0, 1, 1, 1, 0, 1), то `b * =(1, 0, 0, 0, 1, 0).

Если в записи двоичного вектора`b n длины n устранить запятые, его можно рассматривать как двоичную запись некоторого целого числа. Наименьшим таким числом является 0. Ему соответствует вектор `b n =(0, . 0). Наибольшим является число 2 n –1, которому соответствует`b n =(1, . 1). Следовательно, при помощи полного набора двоичных векторов`b n длины n можно записать все 2 n целых чисел из интервала [0, 2 n –1]. Такие числа называют порядковыми номерамивекторов. Их используют как в двоичном виде, так и в десятичной системе счисления.

Пример 1. Найти порядковый номер булева вектора`b = (1,0, 0, 1, 0, 1) в десятичной системе счисления.

Решение. Устраняя запятые в векторе, получим двоичную запись 100101. Переводя ее по правилу 2.1.1 в десятичную систему, получим:

Ответ: десятичный порядковый номер вектора (1,0, 0, 1, 0, 1) равен 37.

Лексикографическим называют такой порядок двоичных век­торов`b n , когда соответствующие им порядковые номера расположе­ны по возрастанию от 0 до 2 n –1. В качестве примера рассмотрим полное множество 3-мерных булевых векторов, расположенных в лексикографическом порядке:

0 (0, 0, 0), 4 (1, 0, 0),

1 (0, 0, 1), 5 (1, 0, 1),

2 (0, 1, 0), 6 (1, 1, 0),

3 (0, 1, 1), 7 (1, 1, 1).

Пример 2. Упорядочить по возрастанию порядковых номеров булевы векторы длины 6: (1, 0, 1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 0).

Решение. Определяя, как в примере 1, десятичные порядковые номера наборов, получим для них:

(1, 0, 1, 0, 1, 1, 0)↔10101102 = 8610, (0, 1, 1, 0, 1, 0, 0)↔1101002 = 5210, (0, 0, 1, 1, 0, 1, 0)↔110102 = 2610.

Искомый порядок получим, располагая векторы в порядке возрастания их номеров: (0,0,1,1,0,1,0), (0,1,1,0,1,0,0),(1,0,1,0,1,1,0).

Практические задания.

1. Найти порядковый номер двоичного вектора (0, 0, 1, 0, 1, 1, 0) в десятичной системе счисления.

2. Упорядочить по убыванию порядковых номеров двоичные векторы длины 5:

(0, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 0).

Логика как наука о формах и законах мышления возникла в Древней Греции. Вначале она была составной частью риторики – науки убеждения. Новый импульс развитие логики получило в ХVIII–ХIХ веках, когда в результате развития естественных наук выявилось сходство применяемых в них методов рассуждений. Однако широкое использование математических методов началось только в середине ХIХ века после применения в логике шотландским математиком Дж. Булем математических обозначений.

С современной точки зрения основной задачей логики является выяснение правильности логических рассуждений безотносительно к предмету рассуждения.

Объектами логики как математической дисциплины являются высказывания. Это любые утверждения на естественных или формальных языках, о которых имеет смысл говорить, истинны они либо ложны.

Истину обозначают И, ложь – через Л (англ.- Т(true), F (false)). При математическом обозначении И заменяют на 1, Л – на 0.

Простое высказывание выражает одну законченную мысль. Если высказывание всегда истинно (равно 1), либо всегда ложно (0), то его называют константой. Логические константы обычно обозначают маленькими или большими начальными латинскими буквами, при которых также используют нижние индексы. Например: a, b, c, A, B, b1, c2, A2.

Если высказывание может принимать оба логических значения (и 0, и 1), то его называют переменным(логической переменной). Логические переменные обозначают средними латинскими буквами (с индексами и без них), например: x, у, z, Х, Y, Z. x1, z2, Y3.

1) а =«99― самое большое натуральное число» ― высказывание — булева константа, а º0 (Л),

Читайте также:  Перекрестная аллергия коровье молоко таблица

2) b1=«99 — самое большое 2-значное натуральное число» ― булева константа, b1º1 (И),

3) хтреугольник является прямоугольным»― булева переменная, поскольку х может принимать значения и 0 и 1,

4) «дом большой» ― фраза не является высказыванием, поскольку выражает субъективное мнение и не ясно, какой дом можно считать большим.

Наряду с фразами на естественном языке, логические константы и переменные могут быть заданы арифметическими условными выражениями, зависящими от числовых вещественных констант и переменных. Например, (x 2 +y 2 2 +y 2 ³10) и другие. Рассмотрим их истинность.

Условие (x 2 +y 2 2 +y 2 ³10) ложно, так как 1 2 +2 2 =5 2, а условие (x 2 +y 2 ³10) истинно, так как 4 2 +2 2 = 20 > 10. Т.е. (x 2 +y 2 ³10) – логические переменные.

Допустим, задан некоторый набор логических переменных, обозначенных, на­пример, x, у, z. Отображение (правило) f, сопоставляющее каждому возможному набору значений переменных (x, у, z) свое логическое значение (0 или 1), называют логической функцией. Обозначается она как f(х, у, z).

Пример 2.Зададим функцию f, зависящую от двух переменных х,у списком, в котором перечислены все возможные логические значения для на­боров переменных (х,у) и соответствующие им значения f:

(х=0,у=0):f=0; (х=0,у=1):f=1; (х=1,у=0):f=1; (х=1, у=1): f=0.

По числу переменныхn логические функции называют одноместными (n=1), двухместными (n=2) и т.д.

Простейшим способом непосредственного задания функций является табличный, при котором все возможные значения наборов переменных располагают по возрастанию их порядковых номеров (в лексикографическом порядке), а значения функции f поме­щают в отдельном столбце, который называют вектором истинности функции. Всю конструкцию называют таблицей истинности функции. Для рассмотренной в примере 2 функции двух переменных f(х,у) таб­лица истинности имеет вид:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник



Логические выражения и таблица истинности

Логические выражения и таблица истинности

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

Логические выражения и таблица истинности

Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. mстрок=2 n , m=2 2 =4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А\/¬В; 5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.

Источник

Таблица истинности онлайн с примерами — логика

Таблица истинности — это таблица, которая описывает логическую функцию. Логическая функция здесь — это функция, у которой значения переменных и значение самой функции выражают истинность. Например, они принимают значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).

Читайте также:  Таблица с фамилиями и числами

Таблицы истинности применяются для определения значения какого-либо высказывания для всех возможных случаев значений истинности высказываний, которые его составляют. Количество всех существующих комбинаций в таблице находится по формуле N=2*n; где N — общее количество возможных комбинаций, n — число входных переменных. Таблицы истинности нередко используются в цифровой технике и булевой алгебре, чтобы описать работу логических схем.

Таблицы истинности для основных функций

Таблица истинности

Примеры: конъюнкция — 1&0=0, импликация — 1→0=0.

Порядок выполнения логических операций

Инверсия; Конъюнкция; Дизъюнкция; Импликация; Эквиваленция; Штрих Шеффера; Стрелка Пирса.

Последовательность построения (составления) таблицы истинности:

  1. Определить количество N используемых переменных в логическом выражении.
  2. Вычислить количество всевозможных наборов значений переменных M = 2 N , равное количеству строк в таблице.
  3. Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество логических операций.
  4. Озаглавить столбцы таблицы названиями переменных и названиями логических операций.
  5. Заполнить столбцы логических переменных наборами значений, например, от 0000 до 1111 с шагом 0001 в случае для четырех переменных.
  6. Заполнить таблицу истинности по столбцам со значениями промежуточных операций слева направо.
  7. Заполнить окончательный столбец значений для функции F.

Таким образом, можно составить (построить) таблицу истинности самостоятельно.

Составить таблицу истинности онлайн

Заполните поле ввода и нажмите OK. T — истина, F — ложь. Рекомендуем добавить страницу в закладки или сохранить в социальной сети.

Обозначения

  1. Множества или выражения большими буквами латинского алфавита: A, B, C, D.
  2. A’ — штрих — дополнения множеств
  3. && — конъюнкция («и»)
  4. || — дизъюнкция («или»)
  5. ! — отрицание (например, !A)
  6. \cap — пересечение множеств \cap
  7. \cup — объединение множеств (сложение) \cup
  8. A&!B — разность множеств A∖B=A-B
  9. A=>B — импликация «Если . то»
  10. A B — эквивалентность

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица истинности онлайн с примерами — логика

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:

Источник

Примеры 1

Логические высказывания и функции. Таблицы истинности

БУЛЕВА ЛОГИКА

Двоичные (булевы) векторы

Двоичным (булевым) n-мерным вектором называют набор из n чисел (b1, b2, . bn), каждое из которых может принимать только значения в двоичной системе счисления – 0 или 1.

Двоичный вектор `b n * является обратным(инвертирован­ным) к`b n , если он образован из`b n заменой нулей единицами, а единиц – нулями. Например, если` b=(0, 1, 1, 1, 0, 1), то `b * =(1, 0, 0, 0, 1, 0).

Если в записи двоичного вектора`b n длины n устранить запятые, его можно рассматривать как двоичную запись некоторого целого числа. Наименьшим таким числом является 0. Ему соответствует вектор `b n =(0, . 0). Наибольшим является число 2 n –1, которому соответствует`b n =(1, . 1). Следовательно, при помощи полного набора двоичных векторов`b n длины n можно записать все 2 n целых чисел из интервала [0, 2 n –1]. Такие числа называют порядковыми номерамивекторов. Их используют как в двоичном виде, так и в десятичной системе счисления.

Пример 1. Найти порядковый номер булева вектора`b = (1,0, 0, 1, 0, 1) в десятичной системе счисления.

Решение. Устраняя запятые в векторе, получим двоичную запись 100101. Переводя ее по правилу 2.1.1 в десятичную систему, получим:

Ответ: десятичный порядковый номер вектора (1,0, 0, 1, 0, 1) равен 37.

Лексикографическим называют такой порядок двоичных век­торов`b n , когда соответствующие им порядковые номера расположе­ны по возрастанию от 0 до 2 n –1. В качестве примера рассмотрим полное множество 3-мерных булевых векторов, расположенных в лексикографическом порядке:

0 (0, 0, 0), 4 (1, 0, 0),

1 (0, 0, 1), 5 (1, 0, 1),

2 (0, 1, 0), 6 (1, 1, 0),

3 (0, 1, 1), 7 (1, 1, 1).

Пример 2. Упорядочить по возрастанию порядковых номеров булевы векторы длины 6: (1, 0, 1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 0).

Читайте также:  Таблица регионов рф информатика

Решение. Определяя, как в примере 1, десятичные порядковые номера наборов, получим для них:

(1, 0, 1, 0, 1, 1, 0)↔10101102 = 8610, (0, 1, 1, 0, 1, 0, 0)↔1101002 = 5210, (0, 0, 1, 1, 0, 1, 0)↔110102 = 2610.

Искомый порядок получим, располагая векторы в порядке возрастания их номеров: (0,0,1,1,0,1,0), (0,1,1,0,1,0,0),(1,0,1,0,1,1,0).

Практические задания.

1. Найти порядковый номер двоичного вектора (0, 0, 1, 0, 1, 1, 0) в десятичной системе счисления.

2. Упорядочить по убыванию порядковых номеров двоичные векторы длины 5:

(0, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 0).

Логика как наука о формах и законах мышления возникла в Древней Греции. Вначале она была составной частью риторики – науки убеждения. Новый импульс развитие логики получило в ХVIII–ХIХ веках, когда в результате развития естественных наук выявилось сходство применяемых в них методов рассуждений. Однако широкое использование математических методов началось только в середине ХIХ века после применения в логике шотландским математиком Дж. Булем математических обозначений.

С современной точки зрения основной задачей логики является выяснение правильности логических рассуждений безотносительно к предмету рассуждения.

Объектами логики как математической дисциплины являются высказывания. Это любые утверждения на естественных или формальных языках, о которых имеет смысл говорить, истинны они либо ложны.

Истину обозначают И, ложь – через Л (англ.- Т(true), F (false)). При математическом обозначении И заменяют на 1, Л – на 0.

Простое высказывание выражает одну законченную мысль. Если высказывание всегда истинно (равно 1), либо всегда ложно (0), то его называют константой. Логические константы обычно обозначают маленькими или большими начальными латинскими буквами, при которых также используют нижние индексы. Например: a, b, c, A, B, b1, c2, A2.

Если высказывание может принимать оба логических значения (и 0, и 1), то его называют переменным(логической переменной). Логические переменные обозначают средними латинскими буквами (с индексами и без них), например: x, у, z, Х, Y, Z. x1, z2, Y3.

1) а =«99― самое большое натуральное число» ― высказывание — булева константа, а º0 (Л),

2) b1=«99 — самое большое 2-значное натуральное число» ― булева константа, b1º1 (И),

3) хтреугольник является прямоугольным»― булева переменная, поскольку х может принимать значения и 0 и 1,

4) «дом большой» ― фраза не является высказыванием, поскольку выражает субъективное мнение и не ясно, какой дом можно считать большим.

Наряду с фразами на естественном языке, логические константы и переменные могут быть заданы арифметическими условными выражениями, зависящими от числовых вещественных констант и переменных. Например, (x 2 +y 2 2 +y 2 ³10) и другие. Рассмотрим их истинность.

Условие (x 2 +y 2 2 +y 2 ³10) ложно, так как 1 2 +2 2 =5 2, а условие (x 2 +y 2 ³10) истинно, так как 4 2 +2 2 = 20 > 10. Т.е. (x 2 +y 2 ³10) – логические переменные.

Допустим, задан некоторый набор логических переменных, обозначенных, на­пример, x, у, z. Отображение (правило) f, сопоставляющее каждому возможному набору значений переменных (x, у, z) свое логическое значение (0 или 1), называют логической функцией. Обозначается она как f(х, у, z).

Пример 2.Зададим функцию f, зависящую от двух переменных х,у списком, в котором перечислены все возможные логические значения для на­боров переменных (х,у) и соответствующие им значения f:

(х=0,у=0):f=0; (х=0,у=1):f=1; (х=1,у=0):f=1; (х=1, у=1): f=0.

По числу переменныхn логические функции называют одноместными (n=1), двухместными (n=2) и т.д.

Простейшим способом непосредственного задания функций является табличный, при котором все возможные значения наборов переменных располагают по возрастанию их порядковых номеров (в лексикографическом порядке), а значения функции f поме­щают в отдельном столбце, который называют вектором истинности функции. Всю конструкцию называют таблицей истинности функции. Для рассмотренной в примере 2 функции двух переменных f(х,у) таб­лица истинности имеет вид:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Adblock
detector